2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题

2023中国西部数学邀请赛 重庆 第一天 8月6日 上午 8:00~12:00 每题15分 1．是否存在6个两两不同的整数，使得它们恰为关于x的方程 的6个根？ 2．某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？ 3．如图，已知内两点满足且，线段BC上一点D满足．设点A关于直线的对称点分别为．证明：． 4．设p为质数，整数均与p互质．证明：存在绝对值均小于的整数，满足 ． 2023年中国西部数学邀请赛 重庆 第二天 8月7日 上午 8:00~12:00 每题15分 5．设非负实数满足对任意，有． 求的最小值． 6．如图，设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为，的外心为，点B关于直线CD的对称点为，点Y满足四边形DKEY是平行四边形．证明：点共圆． 7．对于正整数，用表示满足的最小正整数．对任意正整数，证明：． 8．一个方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数，使得对任意一种“仁蒸的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n次移动吃到奶酪． $$第20届中国西部数学邀请赛试题解析 I.试题 1.是否存在6个两两不同的整数a,b,c,d,e,f,使得它们恰为关于x的方程 (r+a)(x2+6x+c)(x+dx2+ex+f)=0 的6个根？ (邹瑾供题) 2.某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛.任意 两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何 岛.若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”.已知 任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？ (肖一君供题) 3.如图，已知△ABC内两点P,Q满足∠PBC=∠QBA且∠PCB=∠QCA 线段BC上一点D满足∠PDB=∠QDC.设点A关于直线BP,CQ的对称点分 别为X,Y.证明：DX=DY (佘毅阳供题) 4.设p为素数，整数a,b,c均与p互素.证明：存在绝对值均小于√厄的整数 C1,C2,E3,x4满足 ax1x2+bxa4=c (mod p). (王广廷供题) 5.设非负实数a1,a2,·,a1o0满足对任意2≤i≤99，有 max {ai-1+ai;ai +ai+1}>i. 求a1+a2+·+a1o0的最小值. (张端阳供题) 6.如图，设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为E,△ABE的 外心为K,点B关于直线CD的对称点为X,点Y满足四边形DKEY是平行四 边形.证明：点D、E、X、Y共圆. (罗振华供题)】 X 7.对于正整数x,,用T()表示满足r=y(modx)的最小正整数r.对任 意正整数a,b,n,证明： 2n侧s 2 (羊明亮供题) 2 8.一个100×100方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有 一块奶酪.老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到 相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）.现在在一些小方格的边上放置 隔板，老鼠在移动时不能越过隔板.称一种放置隔板的方式是“仁慈的”，如果放置 隔板后老鼠仍能吃到奶酪.求最小的正整数，使得对任意一种“仁慈的”放置2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过次移动吃到奶酪. (张端阳供题) Ⅱ.解答与评注 题1是否存在6个两两不同的整数a,b,c,d.e,f,使得它们恰为关于x的方 程 (a+a)(x2+ba+c）(x3+dar2+er+f）=0 的6个根？ 解不存在.我们采用反证法，假设存在这样的六个不同的整数满足题意要求 由韦达定理可知关于x的方程(x+a)(x2+ba+c(x3+dx2+ex+f)=0的 六个根的积为acf,故acf=abcdef,即acf(bde-1)=0.于是有如下四种情况： (1)bd=1,但是任意三个不同的整数，乘积不等于1，矛盾 (2)a=0,则b,c,d,e,f恰为关于x的方程(x2+br+c)(a3+dx2+ex+f)=0的 五个根.于是再次利用韦达定理可知-cf=bedef,由于a,b,c,d,e,f互不相同，可 知cf≠0，从而bde=-1,但是任意三个不同的整数，乘积不等于-1，矛盾】 (3)c=0,则a,b,