黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

哈工大附中2023-2024学年度第一学期开学考试 （高二数学）试题 一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ） A 14 B. 16 C. 28 D. 32 2. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. i C. D. 1 3. 如图，点为的边上靠近点的三等分点，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（ ） A. 众数为30 B. 中位数为31.5 C. 平均数小于中位数 D. 极差为109 5. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知正三棱柱的所有棱长都是2，点在棱上运动，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 8. 已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 设复数，则（ ） A. 对应的点在第一象限 B. C. 的虚部为 D. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则∥ C. 的最小值为6 D. 若与的夹角为钝角，则或 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D 丁险种更受参保人青睐 12. 在中，内角所对的边分别为，已知，点满足，且是外心，则下列判断正确的是（ ） A. B. 的外接圆半径是 C. D. 的最大值为 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_________ 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________m． 15. 已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为__________． 16. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，平面，,则其外接球的半径为______． 17. 新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）. 18. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求的大小； （2）若，求b，c的值. 19. 甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差； （3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由. 注：一组数据的平均数为，它的方差为 20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.且. （1）求证：平面PCD； （2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 21. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：//平面AEC （2）设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角． 22. 如图所示，某小区内有四栋楼，在栋楼处测得米，，，，． （1