黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高二上学期开学测试数学试题

哈三中2023-2024学年度高二开学测试 数学试题 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为90分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 哈三中高二年级有200名女生，现采用按比例分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，已知样本中有40名男生，则高二年级的学生数量是（ ） A. 400名 B. 500名 C. 600名 D. 700名 3. 已知向量与的夹角为60°，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知l是直线，，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为 A. m B. C. D. 6. 已知事件，且，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则， B. 若A与B互斥，则， C. 若A与B相互独立，则， D. 若A与B相互独立，则， 7. 在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，，E为线段PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，，若，则m的值为（ ） A B. C. 1 D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 学校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，…，分成六组，得到如图所示的频率分布立方图，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.05 B. 估计测试成绩低于70分的有240人 C. 估计测试成绩的众数为75 D. 估计测试成绩的平均数为71 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则为等腰或直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则正三角形 11. 一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 在正方体中，，E为棱的中点，F是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面．下列四个结论中正确的是（ ） A. 动点F的轨迹是一段圆弧 B. 不存在符合条件的点F，使得 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 设直线与平面所成角为，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______． 14. 已知i是虚数单位，是关于x的方程的一个根，则______． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边AB的中点，，且满足，则CD长度的最小值为______． 16. 三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球直径为______． 四、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且． （1）求证：平面PEC； （2）求直线BF与平面PEC所成角的正弦值． 18. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率； （2）求至多有一名选手通过全部考核的概率． 19. 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求锐角的面积的取值范围． 20. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （