3.2勾股定理的逆定理（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第3章 · 勾股定理 3.2　勾股定理的逆定理 学习目标 1. 探究并证明勾股定理逆定理，体会“数”与“形”的内在联系； 2. 会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形； 3. 知道“勾股数”的意义. 问题情境 上节课我们学习了： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来， 如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）. 操作与思考 (2) a=5，b=12，c=13； (3) a=8，b=15，c=17. (1) a=3，b=4，c=5； B 3 4 C A 5 B 5 12 C A 13 B 8 15 C A 17 判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？ 都是直角三角形 思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？ 操作与思考 (2) a=5，b=12，c=13； (3) a=8，b=15，c=17. (1) a=3，b=4，c=5； 82+152=172 32+42=52 52+122=132 a2+b2=c2 思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？ 操作与思考 猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 你能证明这个猜想吗？ A b a C B c 已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2. 求证：△ ABC是直角三角形. 操作与思考 A b a C B c A′ b a C′ B′ ∟ 证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）. 由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2. 因为 AB2= a2+b2， 根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形. 新知归纳 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. A b a C B c 符号语言： 在△ABC中， ∵a²+b²=c²， ∴△ABC为直角三角形. 作用：判定一个三角形是否是直角三角形. 这个结论与勾股定理有什么关系呢？ 哪个角是直角 最长边所对应的角为直角，∠C=90°. 新知归纳 勾股定理与其逆定理对比： 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 结论 区别 联系 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C=90° a2 + b2 = c2 “直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质. A b a C B c 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关 在△ABC中，a2 + b2 = c2 ∠C=90° 数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定. 形 数 新知应用 (1) a=8，b=15，c=17； (2) a=13，b=14，c=15. 下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角. 解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289， ∴ 82＋152＝172. ∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角. (2) ∵132＋142＝365，152＝225， ∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴ 这个三角形不是直角三角形. 新知巩固 (1) a=7，b=25，c=24； 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角. (2) a:b:c=3:4:5. 解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625， ∴ 72＋242＝252. ∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角. (2)设a=3k、b=4k、c=5k， ∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2， ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2， 根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角. 新知归纳 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： 1.找：确定三角形的最长边; 2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; 3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等; 4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不 是直角三角形. 例题讲解 例1 像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律． a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16