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七年级数学(北师)上册
第四章 基本平面图形
第2课时 比较线段的长短
【题型1】利用线段的基本性质解决实际问题
1.【例】如图,已知A,B,C,D四点.
(1)经过这四点最多能确定________条线段;
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第2课时 比较线段的长短
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(2)若A,B,C,D为4个居民小区,现要在它们中间建一个购物中心E,使4个居民小区到购物中心E的距离之和最小,请在图中标出购物中心E的位置(保留作图痕迹),并说明理由.
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第2课时 比较线段的长短
解:如图,连接AC、BD相交于点E,
点E就是购物中心的位置,
理由:∵两点之间,线段最短,
∴AE+CE≥AC,BE+DE≥BD,
∴AE+CE+BE+DE≥AC+BD,
∵点E在AC上,也在BD上,
∴AE+CE+BE+DE=AC+BD,
∴此时AE+CE+BE+DE的值最小,
∴点E就是购物中心的位置.
2.如图,有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到B点,走哪一条路最近?请你试着画出这条最短的路线,并说明理由.
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第2课时 比较线段的长短
解:如图,将正方体的表面展开,连接AB,
则线段AB即为这条最短的路线,
理由:两点之间线段最短.
【题型2】线段的计算
3.【例】如图,点O是线段AB的中点,OB=14 cm,点P将线段AB分为两部分,AP∶PB=5∶2.
(1)求线段OP的长;
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(2)点M在线段AB上,若点M距离点P的长度为4 cm,求线段AM的长.
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第2课时 比较线段的长短
解:如图1,当点M在点P的左边时,
AM=AB-(PM+BP)=28-(4+8)=16(cm);
如图2,当点M在点P的右边时,
AM=AB-BM=AB-(BP-PM)=28-(8-4)=24(cm).
综上所述,AM的长为16 cm或24 cm.
图1
图2
4.如图,点C在线段AB上,AC=14 cm,CB=8 cm,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)求线段MN的长;
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第2课时 比较线段的长短
(2)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=k cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由.
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【题型3】(培优)动点问题
5.【例】如图,射线OM上有三点A、B、C,满足OA=20 cm,AB=60 cm,BC=10 cm,点P从点O出发,沿OM方向以1 cm/s的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点O时,点P、Q停止运动.设运动时间为t s.
(1)若点Q运动速度为2 cm/s,经过多长时间P、Q两点相遇?
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第2课时 比较线段的长短
解:依题意,得OP=t cm,CQ=2t cm,则t+2t=20+60+10,
解得t=30.
答:经过30 s,P、Q两点相遇;
(2)当PA=2PB时,点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点,求点Q的运动速度;
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第2课时 比较线段的长短
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第2课时 比较线段的长短
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第2课时 比较线段的长短
(3)当点P运动到线段AB上时,分别取OP和AB的中点E、F,则OC-AP-2EF=________cm.
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第2课时 比较线段的长短
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6.如图,已知线段AB=m,CD=n,线段CD在直线AB上运动(A在B左侧,C在D左侧),若|m-12|+(6-n)2=0
(1)求线段AB,CD的长.
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第2课时 比较线段的长短
解:∵|m-12|+(6-n)2=0,
∴m-12=0,6-n=0,解得m=12,n=6,
∴AB=12,CD=6;
(2)若点M,N分别为线段AC,BD的中点,且BC=4,求线段MN的长;
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第2课时 比较线段的长短
解:分两种情况讨论:
①当点C在点B右侧时,如图所示:
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第2课时 比较线段的长短
②当点C在点B左侧时,如图所示:
(3)当CD运动到某一时刻时,点D与点B重合,点P是线段AB延长线上任意一点,则 是一个定值,请加以说明.
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第2课时 比较线段的长短
解:定值为2,说明如下:
点D与点B重合,点P是线段AB延长线上任意一点,如图所示:
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