第七章 第4讲 数列的综合应用-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第七章 数 列 165 第4讲 数列的综合应用 考纲知识解读 知识梳理 1. “在知识的交汇点设置能力型问题”是指 导高考命题的思想之一.数列是高中数学知识结 构的一个重要的交汇点.在高考中经常与函数、 不等式以及其他知识模块综合考查,此外,等差、 等比数列的综合,数列的实 际 应 用 也 是 常 考 题型. 2. 数列综合题常常是数列与函数、不等式、 几何等知识点的交汇,因此要加强数学知识的综 合运用,要有意识地运用函数方程思想、转化思 想和分类讨论的思想来探求解题思路.同时要鼓 励合理的猜想、重视数学归纳法的运用. 补充提示 在选择、填空题型中,等差、等比数列的综合 性问题,特别是考查数列的性质内容以及与推 理、证明相结合归纳推理题型是常考题型,若与 函数交汇考查,注意以基本初等函数为依托,如 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函 数等,关键是将函数问题转 化 为 数 列 问 题 来 解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 等差与等比数列的综合 等差、等比数列的综合性问题中一般数列均 具有双重身份,解决此类问题,要充分利用等差 数列与等比数列的有关性质求解. 典型例题 例1 [经 典 真 题]已知等差数列{an}满足: a1=2,且a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Sn 为数列{an}的前n 项和,是否存 在正整数n,使得Sn>60n+800? 若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 解析 (1)设 等 差 数 列{an}的 公 差 为 d, ∵a1,a2,a5 成等比数列,∴a22=a1a5,即(a1+ d)2=a1(a1+4d),解得d=0或4, ∴an=2或an=4n-2. (2)当an=4n-2时,存在正整数n,且n 的 最小值为41.理由如下: 当an=2时,Sn=2n,由2n>60n+800及 n∈N*得n 无解; 当an=4n-2时,Sn= n(a1+an) 2 =2n 2, 由2n2>60n+800,得n>40或n<-10 (舍去), ∵n∈N*,∴n 的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整 数n;当an=4n-2时,存在满足题意的正整数 n,最小值为41. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 166 即时训练 1. 已知数列{an}为等差数列,首项为2,公差为 3,数列{bn}为等比数列,首项为2,公比为2, 设cn=abn,Tn 为数列{cn}的前n 项和,则当 Tn<2020时,n 的最大值是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 突破二 数列与不等式的综合 数列与不等式的综合问题是高考考查的热 点.考查方式主要有三种: 一是判断数列问题中的一些不等关系,可以 利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应 函数的单调性比较大小; 二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问 题,此类问题可转化为函数的最值问题; 三是考查与数列问题有关的不等式的证明 问题,此类问题常通过构造函数证明,或者直接 利用放缩法证明. 典型例题 例2 (多选)已知数列{an}满足a1=t≠0, 2an+1=an+ 1 an (n∈N*),则下列关于{an}的判 断正确的是 ( ) A. ∀t≠0,∀n≥2,an≥1 B. ∃t>0,∀n∈N*,an>an+1 C. ∀t∈(-1,0),∀n∈N*,an<an-1 D. ∃t<0,∃m∈N*,an+m=an 解析 因为a1=t≠0且2an+1=an+ 1 an , 所以t>0时,an+1= 1 2an+ 1 2an >0,且 an+1= 1 2an + 1 2an ≥2 1 2an · 1 2an =1,即 an+1≥1(当且仅当t=1时等号成立); t<0时,an+1= 1 2an+ 1 2an <0,且an+1= 1 2an + 1 2an = - - 1 2an + - 12an 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ≤ -2 1 2an · 1