第六章 第1讲 平面向量的概念及基本运算-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 124 第六章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及基本运算 考纲知识解读 知识梳理 1. 向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向 量的大小叫做向量的模; (2)零向量:长度等于0的向量,其方向是任 意的; (3)单位向量:长度等于1个单位的向量; (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量, 又叫共线向量,规定:0与任一向量共线; (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量; (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2. 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求 两 个 向 量 和 的 运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交 换 律: a+b=b+a; (2)结 合 律: (a+b)+c= a+(b+c) 减法 求 a 与 b 的 相 反 向 量 -b 的 和 的 运 算 叫做a与b 的差 三角形法则 3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫向量的数乘,记作λa; (2)运算律:设λ,μ 是两个实数,则: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb. 4. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,有且只有唯一一个 实数λ,使得b=λa. 5. 平面向量基本定理 如果e1,e2 是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底. 6. 内分线定理 已知直线BC 以及直线外 一点 A,D 在 BC 上 且 满 足 BD→ =λBC→,则 必 有 AD→ = λAC→+(1-λ)AB→. 7. 角平分线定理 三角形一个角的平分线与 其对边所成的两条线段与这个 角的两边对应成比例,即 AD 为∠BAC 的 角 平 分 线,则 必 有 AB AC = BD CD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第六章 平面向量 125 = sin C sin B. 8. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 做把向量正交分解. 9. 平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i,j 作为基底.对于 平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y, 使a=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量a 的 坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴上 的坐标,y 叫做a在y 轴上的坐标; (2)设OA→=xi+yj,则向量OA → 的坐标(x, y)就是终点A 的坐标,即若OA →=(x,y),则A 点坐标为(x,y),反之亦成立.(O 是坐标原点) 10. 向量加法、减法、数乘及向量的模的坐 标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|= x21+y21. 11. 向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标 即为向量的坐标; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB →= (x2-x1,y2-y1), |AB→|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 12. 平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.若 a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 补充提示 1. 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第 一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 2. λa 与a 的长度与方向关系:①|λa|= |λ||a|;②当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相 同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当 λ=0时,λa=0. 3. 向量共线的充要条件中要注意“a≠0”, 否则λ可能不存在,也可能有无数个. 4. 证明三点共线需要说明两向量共线且有 公共点. 5. 利用向量平行证明向量所在直线平行,