第一章 第3讲 全称量词与存在量词-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 12 12. [辽宁盘锦市高级中学周测]“m>2”是“关 于x 的方程x2-mx+m+3=0的两根都 大于1”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 若f(x)对∀x∈R,恒有2f(x)-f(-x)= 3x+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)令g(x)=f(x-1),求证:g(a2)+ g(b2)+g(c2)=g(ab+ac+bc)的充要 条件是a=b=c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第3讲 全称量词与存在量词 考纲知识解读 知识梳理 1. 量词与含量词的命题 (1)全称量词:全部的、所有的、任意的等,用 符号“∀”表示;存在量词:存在一个、至少有一 个、有些等,用符号“∃”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题,叫做全 称命题,“对 M 中任意一个x,有p(x)成立”可 用符号简记:∀x∈M,p(x). (3)特称命题:含有存在量词的命题,叫做特 称命题,“存在M 中的元素x0,使p(x0)成立”可 用符号简记:∃x0∈M,p(x0). 2. (1)含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,􀱑p(x0) ∃x0∈M, p(x0) ∀x∈M,􀱑p(x) (2)命题的否定 “p”的否定是“􀱑p”. 补充提示 1. 注意命题是全称命题还是特称命题,是 正确写出命题的否定的前提. 2. 注意命题所含的量词,对于隐含量词的 命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定. 3. 命题的否定是直接对命题的结论进行否 定,即命题“若p,则q”的否定为“若p,则􀱑q”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 全称命题与特称命题的真假判断 1. 全称命题真假的判断 (1)要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真 命题,必须使p(x)对集合M 中的每个元素x 都 成立; (2)要判定全称命题“∀x∈M, p(x)”是假 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第一章 集合与常用逻辑用语 13 命题,只需举出一个反例,那么这个全称命题就 是假命题. 2. 特称命题真假的判断 (1)要判定特称命题“∃x0∈M, p(x0)”是 真命题,只需找到集合 M 中的一个元素x0,使 p(x0)成立即可; (2)要判定一个特称命题是假命题,需对集 合 M 中的每一个元素x 验证p(x)不成立. 典型例题 例1 [吉林一中周测]下列四个命题: p1:∃x0∈(0,+∞), 1 2 x0 < 13 x0 ; p2:∃x0∈(0,1),log1 2 x0>log1 3 x0; p3:∀x∈(0,+∞), 1 2 x >log1 2 x; p4:∀x∈0, 1 3 ,12 x <log1 3 x. 其中的真命题是 ( ) A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4 解析 对于p1,当x0∈(0,+∞)时,总有 1 2 x0 > 13 x0 成立,故p1 是假命题;对于p2,当 x0= 1 2 时,有1=log1 2 1 2=log13 1 3>log13 1 2 成立, 故p2 是 真 命 题;对 于 p3,结 合 指 数 函 数y= 1 2 x 与对数函数=log1 2 x 在(0,+∞)上的图 象,可以判断p3 是假命题;对于p4,结合指数函 数y= 1 2 x 与对数函数y=log1 3 x 在 0, 1 3 上 的图象可以判断p4 是真命题. 答案 D 例2 [云南玉溪模拟]下面有四个关于三角函 数的命题: p1:∃x∈R,使得sinx+cosx=2; p2:∃x∈R,使得sin2x=sinx; p3:∀x∈ - π 2 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,1+cos2x 2 =cosx ; p4:∀x∈(0,π),sinx>cosx. 其中真命题是 ( ) A. p1,p4 B. p2,p3 C. p3,p4