第四章 第2讲 导数的应用-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第四章 导数及其应用 79 10. 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna. (1)当a=e时,求 曲 线 y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (2)若f(x)≥1,求a 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 导数的应用 考纲知识解读 知识梳理 1. 函数的单调性 函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0. f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数. f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数. 2. 函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比 它在 点 x=a 附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 小, f'(a)=0,而且在点x=a 附近的左侧f'(x)< 0,右侧f'(x)>0,则点a 叫做函数y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比 它在 点 x=b 附 近 的 其 他 点 的 函 数 值 都 大, f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)> 0,右侧f'(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的 极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值 和极小值统称为极值. 3. 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值; (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若 函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数 的最大值,f(b)为函数的最小值. 补充提示 1. f'(x)>0能推出f(x)为增函数,但反 之不一定,所以f'(x)>0是f(x)为增函数的 充分不必要条件. 2. 可导函数的极值点必须是导数为0的 点,但 导 数 为 0 的 点 不 一 定 是 极 值 点,即 f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0 处取得 极值的必要不充分条件.此外,函数不可导的点 也可能是函数的极值点. 3. 可导函数的极值表示函数在一点附近的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 80 情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是 表示函数在某个区间上的情况,是对函数在整个 区间上的函数值的比较. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般思路: 1. 求函数的单调区间问题,首先确定函数 f(x)的定义域;再求f'(x),令f'(x)=0,求出 它在定义域内的一切实数根;把函数f(x)的间 断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些 点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; 最后确定f'(x)在各个开区间内的符号,根据 f'(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区 间内的增减性. 2. 若已知f(x)的单调性,则转化为不等式 f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问 题求解. 典型例题 例1 [衡 水 市 武 邑 中 学 调 研]已 知 函 数 f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f' 2 3 . (1)求a 的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函 数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的 取值范围. 解析 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得 f'(x)=3x2+2ax-1. 当x= 2 3 时,a=f' 2 3 =3× 23 2 +2a× 2 3-1 ,解之,得a=-1. (2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c.则 f'(x)=3x2-2x-1=3x+ 1 3 (x-1),列表 如下: x -∞,- 1 3 -13 -13,1 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)