第05讲 专题二 构造全等三角形的常见辅助线-2023-2024学年八年级数学上册考点解读易错警示题型梳理及考向预测（人教版）

专题二 构造全等三角形的常见辅助线（原卷版） 专题解读：在几何题目中，我们常常需要作辅助线构造全等三角形，例全等三角形的性质解决与线段或角有关的问题，此类题目难度较大，综合性强，常见的构造方法有“倍长中线”“截长补短”等 类型一 倍长中线法构造全等三角形 方法点拨：已知线段中的或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。 典例1 △ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围． 针对训练 1．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． 类型二 截长补短法构造全等三角形 方法点拨：用于解决“线段和差”问题。当条件或求证的问题是“线段和差”时，通过在长边上截取一条与某一短边相同的线段，或者延长短边使其等于长边，从而获得证明全等所需的“边相等”的条件，一般需要证明两次全等。 典例2 如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O． （1）∠AOC＝　 　； （2）求证：AE+CD＝AC． 针对训练 4．（2021秋•东莞市校级期末）点E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB； （2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数； （3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD． 类型三 角平分线与垂线，延长构造全等三角形 方法点拨：此类题目的特点是已知角平分线和与角平分线垂直的一条线，将垂线和角的一条边同时延长交于一点，就可以利用“ASA”判定三角形全等 典例3 如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 针对训练 1．（2021秋•南开区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证： （1）∠EAC＝∠DBC； （2）BD平分∠ABC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题二 构造全等三角形的常见辅助线（解析版） 专题解读：在几何题目中，我们常常需要作辅助线构造全等三角形，例全等三角形的性质解决与线段或角有关的问题，此类题目难度较大，综合性强，常见的构造方法有“倍长中线”“截长补短”等 类型一 倍长中线法构造全等三角形 方法点拨：已知线段中的或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。 典例1 △ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围． 【思路引领】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可． 解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE， ∴△ADC≌△EDB， ∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理： 5﹣3＜AE＜5+3， ∴1＜AD＜4． 故线段AD的长的取值范围为：1＜AD＜4． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出5﹣3＜AE＜5+3是解此题的关键． 针对训练 1．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　 A．6＜AD＜8