第04讲 专题一 全等三角形常见几何模型-2023-2024学年八年级数学上册考点解读易错警示题型梳理及考向预测（人教版）

专题一 全等三角形的模型（原卷版） 专题解读：全等三角形指能够完全重合的两个三角形，它们的三条边三个角都对应相等，全等三角形是几何类型中研究的全等之一，当题目中出现角平分线，重点或中线，三条线段之间的关系，垂直平分线等条件时，可以考虑作辅助线构造全等三角形。 类型一 角平分线模型 模型描述：OF是∠AOB的平分线，如图（1）若PC⊥OA，PD⊥OB，则△PCO≌△PDO；如图（2）若OC＝OD，则△PCO≌△PDO （1） （2） 典例1 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C＝180°． 针对训练 1．（2022秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN． 2．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC． 类型二 三垂直模型 模型描述：有下面三种情况 典例2 如图（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE， （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． （2）若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 针对训练 1．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 2．（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°． （1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标； （2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标． 类型三 半角模型 模型描述：半角模型常见的图形有正方形，正三角形等。一般解题思路为：1.通过旋转，将半角或组合成为半角的两边的两个三角形合并成新的三角形；2.证明信三角形与半角形成的三角形全等；3.通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。 典例3 如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN＝45°． 求证：MB+ND＝MN． 针对训练 1．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED． （1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD； （2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CDAB＝4．求点E到BC的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题一 全等三角形的模型（解析版） 专题解读：全等三角形指能够完全重合的两个三角形，它们的三条边三个角都对应相等，全等三角形是几何类型中研究的全等之一，当题目中出现角平分线，重点或中线，三条线段之间的关系，垂直平分线等条件时，可以考虑作辅助线构造全等三角形。 类型一 角平分线模型 模型描述：OF是∠AOB的平分线，如图（1）若PC⊥OA，PD⊥OB，则△PCO≌△PDO；如图（2）若OC＝OD，则△PCO≌△PDO （1） （2） 典例1 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C＝180°． 【思路引领】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，由角平分线的定义可得出∠ABD＝∠EBD，结合AB＝EB、BD＝BD即可证出△ABD≌△EBD（SAS），根据全等三角形的性质可得出AD＝ED、∠A＝∠BED，由AD＝CD可得出ED＝CD，进而可得出∠DEC＝∠C，再根据邻补角互补即可得出∠BED+∠DEC＝180°，进而可证出∠A+∠C＝180°． 证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD． 在△ABD和△EBD中，， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴AD＝ED，∠A＝∠BED． ∵AD＝CD， ∴ED＝CD， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠A+∠C＝180°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及邻补角，根据全等三角形、等腰三角形的性质结合邻补角互补找出∠A+∠C＝180°是解题的关键． 针对训练 1．（2019秋•临西县期末）已知