专题07 根与系数求值的四种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程的两根分别为，则 ． 【变式训练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 【变式训练2】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ． 【变式训练3】若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式训练4】已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 类型二、降幂思想求值 例．设，是一元二次方程的两根，则的值为 . 【变式训练1】若是方程的两个实数根，求的值． 【变式训练2】若，那么代数式的值是 . 【变式训练3】已知，是方程的两个根，那么______． 类型三、构造方程思想求值 例．如果x、y是两个实数（）且，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2023 【变式训练1】若a≠b，且则的值为（    ） A． B．1 C．.4 D．3 【变式训练2】已知a、b、c均为实数，且，，则 ． 【变式训练3】已知实数a、b满足，求的值． 类型四、根的大小问题 例.m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根； (2)一正一负两根； (3)两根都大于1． 【变式训练】已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3. 以上4个结论中，正确的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 课后作业 1．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知x2+x-1=0，则3x2+3x-5= ． 3．若，是方程的两根，则 ． 4．若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 5．设是方程的两实数根，则 ． 6．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共4页 $$ 专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程的两根分别为，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握根与系数的关系是解题关键． 【变式训练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出, ，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，，则， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 【变式训练2】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ． 【答案】8． 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果. 【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1， ∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+ ＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键. 【变式训练2】若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解． 【变式训练3】已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根，