专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.等腰三角形的性质（重点） 知识点2.等腰三角形的判定方法（重点） 知识点3.等边三角形及其性质（难点） 知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点） 知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展） 【方法二】 实例探索法 题型1.等腰三角形中的分类讨论问题 题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明 题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 题型4.等腰三角形的性质与判定的综合 题型5.等边三角形性质的应用 题型6. 等边三角形的性质和判定的综合运用 题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用 题型7.等腰三角形的性质与判定的综合 题型8.等腰三角形或直角三角形中的规律探究 【方法三】 仿真实战法 考法1.等腰三角形的性质 考法2.等腰三角形的判定 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 探索等腰三角形的轴对称性，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力。 2. 探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理。 3. 探索等边三角形的性质定理及判定定理。 4. 会利用基本作图作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 5. 在“操作一条件一归纳一证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.等腰三角形的性质（重点） （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 知识点2.等腰三角形的判定方法（重点） 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 知识点3.等边三角形及其性质（难点） （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【例4】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点） （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【例5】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB