第一章 空间向量与立体几何（压轴必刷30题4种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（压轴必刷30题4种题型专项训练） 一．异面直线及其所成的角（共1小题） 1．（2021秋•遵化市期中）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BB1＝2，P为B1C1的中点． （1）求直线AC与平面ABP所成的角； （2）求异面直线AC与BP所成的角； （3）求点B到平面APC的距离． 二．空间向量的数量积运算（共1小题） 2．（2022春•龙胜县校级期中）棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． （1）证明：EF⊥B1C． （2）求cos＜＞． （3）求FH的长． 三．直线与平面所成的角（共9小题） 3．（2021秋•海淀区校级期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1 （2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值 （3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由） 4．（2022秋•南海区校级月考）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB中点为E． （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PBC； （Ⅱ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 5．（2022秋•船营区校级月考）在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连接A1B，A1P． （1）求证：A1E⊥平面BEP； （2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小． 6．（2022秋•梧州期中）如图，已知长方体AC1中，AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F （1）求证：AC1⊥平面EBD； （2）求点A到平面A1B1C的距离； （3）求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值． 7．（2021秋•平城区校级月考）在四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC＝90°，ED＝BC＝2，EB＝3，F为棱PC的中点． （Ⅰ）求证：PA∥平面BEF； （Ⅱ）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值． 8．（2021秋•凤城市校级月考）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值． 9．（2021秋•鼓楼区校级期中）在①OH∥平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝16，PA＝PC＝10，O为AC中点，H为△PBC内的动点（含边界）． （1）求点O到平面PBC的距离； （2）若 _____，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 10．（2020秋•兴庆区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M． （1）求证：AM⊥PD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值． 11．（2021秋•大连期中）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点． （1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值． 四．二面角的平面角及求法（共19小题） 12．（2022春•湖北期末）如图，DA和CB都垂直于平面ABE，F是DA上一点，且CB＝4，AF＝2，△ABE为等腰直角三角形，且O是斜边AB的中点，CE与平面ABE所成的角为45°． （1）证明：FO⊥平面OCE； （2）求二面角F﹣EC﹣O的平面角的正切值； （3）若点P是平面ADE内一点，且OC⊥OP，设点P到平面ABE的距离为d1，PA＝d2，求d1+d2的最小值． 13．（2022•锦江区校级开学）已知在