4.3.3 余角和补角课件 2023-2024学年人教版七年级数学上册

4.3 角 第四章 几何图形初步 4.3.3 余角和补角 如图，∠1 +∠2 = 5 6 3 4 O A C B A B A C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = 当∠AOB = 180° 时， ∠5 +∠6 = 90°. 180°. ∠AOB 1 2 余角： 定义总结 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. ∠3 与∠4 互余； ∠3 是∠4 的余角； ∠4 是∠3 的余角. 3 4 ∠3 与∠4 依然互余. 讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？ 讨论2：钝角有余角吗？ 没有. 总结 角的数量关系与位置无关. 总结 只有锐角有余角. 3 4 几何语言： 因为∠3 与∠4 互余， 所以∠3 +∠4 = 90° 或∠3 = 90° -∠4 或∠3 = 90° -∠4. 因为∠3 +∠4 = 90°， 所以∠3 与∠4 互余. 互余定义 3 4 补角： 定义总结 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？ 1 2 几何语言： 1 2 因为∠1 与∠2 互补， 所以∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 或∠2 = 180° -∠1. 因为∠1 + ∠2 = 180°， 所以∠1 与∠2 互补. 互补定义 判断：下列论述是否正确？ ①∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余； ②∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补； ③∠1 +∠2 = 90°，则∠1 是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3 是∠4 的补角； ④如图，∠A 不是∠B 的余角； ⑤如图，∠C 是∠A 的补角. × × × × 两个角之间的关系 √ 32° A 58° B 148° C 比一比：看看谁计算得又快又好！ ∠α 5° 62°23′ x° (0<x<90) (20 - x)° (0<x<20) 余角 60° 补角 110° ∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ， 补角可以表示为 . 90° -∠α 180° -∠α 85° 175° 27°37′ 117°37′ (90 - x)° (180 - x)° (70 + x)° (110 + x)° 30° 150° 70° 20° 探究2：∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角， 所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 所以∠2 =∠3. 补角的性质： 定义总结 同角 (等角) 的补角相等． 探究3：类比探究 2，∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1. 所以∠2 = ∠3 . 余角的性质： 定义总结 同角 (等角) 的余角相等． 例1 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 典例精讲 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 例2 如图，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60° 的方向上. 同时， 在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北 (即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、 货轮 C 和海岛 D 方向的射线. 解：如图所示. B C D 总结 ①以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如 “北偏东 30°” “南偏东 25°”； ②表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到. 练一练 1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65