1.3正方形的性质与判定 解答题专题提升训练 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，在正方形中，已知、相交于点，若．求证：．    2．如图，点在正方形的边上，连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)猜想线段与的数量关系并说明理由； 3．如图，在中，，点是边上一点，点是中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接，．    (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当时，直接写出四边形的形状． 4．如图，正方形中，点P是边上的任意一点 (异于端点B、C)， 连接， 过B、D两点作 于点E，于点 F．    (1)求证：； (2)若的周长为6， ，求的长． 5．如图，正方形中，点在上（与点不重合），连接．将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作，交延长线于点．    (1)依题意补全图形； (2)连接，试判断与的数量关系，并证明． 6．如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，， 分别在 ， 上，且 ，连接 ，， 的延长线交 于点 ．求证：． 7．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．    (1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为； (2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由． 8．如图 1，在矩形中，点是边上一点，点 在 延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，在上取一点，使 ，连接 交于点，令， ①求的度数 (请用含的代数式表示)； ②若，求证：四边形为正方形． 9．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接．    (1)求证： (2)探究：线段和的数量关系，说明理由． 10．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边画一个菱形； (2)在图②中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 11．如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 12．如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数最关系并加以证明； (3)如图1，若的面积为72，，请直接写出的长． 13．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．    (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积； (4)在的条件下，直接写出周长的最小值． 14．通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题．    【操作发现】 如图1，探究小组将矩形纸片沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与边交于点，再将纸片沿直线折叠，使边落在直线上，点A与点重合． （1）_______度． （2）若，，求线段的长． 【迁移应用】 （3）如图2，在正方形纸片中，点为边上一点，探究小组将沿直线折叠得到，再将纸片沿过A的直线折叠，使与重合，折痕为，探究小组继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的面积． 15．（1）如图1，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，求证：． （2）类比引申：如图2，四边形中，，，点E，F分别在边，上，，若，都不是直角，则当与满足等量关系_______时，仍有，试说明理由．    16．在正方形中，连接，点在边上．      (1)如图1，连结交于点．点在延长线上，连接，且． ①求的度数； ②如图2，过作交的延长线于点．求证：． (2)如图3，过作于，连接，，若，求的长． 17．综合与实践课上，数学老师准备了下面数学活动供同学们探究： 【问题提出】如图①，和都是等腰直角三角形，，点D在上，求证：，通过连接，得，，从而得出为直角三角形，使问题得证． 【问题深入】 如图②，四边形和四边形都是正方形，点D在对角线上，若，求正方形的面积． 【问题拓展】如图③，和都是等边三角形，点A在上，连接，则 _______ º；若，则的面积为_______    18．如图，正方形中，点E在上，点F在延长线上，且，连接，作的中点G．        (1)求证； (2)求证：A、G、C三点共线； (3)延长交于H，若，求证：． 19．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、相交于点．    (1)求证：≌； (2)求证：； (3)若，，求的长． (4)若点为中点，求证：、