第四节利用导数研究函数的零点问题讲义-2024届新高考数学一轮复习讲与练

第四节 利用导数研究函数的零点问题 考点梳理 导数作为研究函数的重要工具，有着广泛的应用，用导数研究函数的零点问题一直是高考的热点和难点，主要考察的题型有： （1）判断或证明零点的个数问题； （2）已知零点个数求参数问题； （3）存在零点求参数问题； （4）隐零点问题等. 重难点题型探究 题型一：判断或证明零点的个数问题 例1、（2019年全国高考Ⅱ卷）已知函数. （1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点； （2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 点睛：（1）判断或证明函数的零点个数问题，本质上还是要通过研究函数的单调性、极值等来刻画出函数的图像加以判断或证明. 有时还需要利用一些特殊点处的函数值的正负性，结合零点判断定理进行. （2）本题第二小问，分别求得两条切线的方程，再证明两切线方程相同即可. 例2、（2023·山东淄博模拟预测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 点睛：本题第二小问的参数出现在了两处且形式复杂，需用“同构法”进行简化. 题型二：已知零点个数求参数； 例3、（2023全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4、（2021·全国甲卷）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 点睛：用导数求解函数零点个数问题的方法： （1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从函数中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； （2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. 三、存在零点求参数问题 例5、（2023·河南郑州外国语学校模拟预测）已知函数，，其中． (1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数的取值范围； 例6、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数，，. (1)若，求证：； (2)若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围. 四、隐零点问题 因为篇幅过长，隐零点问题我们以后再行探讨. 1 $$ 第四节 利用导数研究函数的零点问题 考点梳理 导数作为研究函数的重要工具，有着广泛的应用，用导数研究函数的零点问题一直是高考的热点和难点，主要考察的题型有： （1）判断或证明零点的个数问题； （2）已知零点个数求参数问题； （3）存在零点求参数问题； （4）隐零点问题等. 重难点题型探究 题型一：判断或证明零点的个数问题 例1、（2019年全国高考Ⅱ卷）已知函数. （1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点； （2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性； （2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可. 【详解】（1）函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数； 当时，因为，而，又在上单调递增，故在上，函数有唯一的零点； 当时，， 故，又在上是单调递增，故在上，函数有唯一的零点 综上所述，函数有2个零点. （2）设在点处的斜率为． 切线的方程为，即． 由题，令，得，所以曲线上斜率为的切线的切点为． 切线的方程为，即． 设是的一个零点，故，故 曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线. 点睛：（1）判断或证明函数的零点个数问题，本质上还是要通过研究函数的单调性、极值等来刻画出函数的图像加以判断或证明. 有时还需要利用一些特殊点处的函数值的正负性，结合零点判断定理进行. （2）本题第二小问，分别求得两条切线的方程，再证明两切线方程相同即可. 例2、（2023·山东淄博模拟预测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 【解析】（1）当时，，定义域为， 则， 在上单调递增，且，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以，故的最小值为. （2）方程即，即，即. 设，则即， 因为在上单调递增，所以，即， 设，则，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，且时，，时，， 所以当，即时，方程无实根， 当，即时，方程有1个实根， 当，即时，结合图象和直线的交点情况， 可知方程有2个实根. 综上，时，方程无实根； 时，方程有1个实根；时，方程有2个实根. 点睛：本题第二小问的参数出现在了两处且形式复杂，需用“同构法”进行简化. 题型二：已知零点个数求参数； 例3、（2023全国