1.4.2 充要条件（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 新知1：四种条件关系 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 3 【例1】设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“且”则“”； 若“”，可能，此时无法得到“且”； 所以是的充分不必要条件． 故选：A 题型一：充分条件与必要条件的判断 【对点训练1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由得， 因为选项中只有， 故只有C选项中的条件是使不等式 成立的一个充分不必要条件． 故选：C． 题型一：充分条件与必要条件的判断 【例2】已知集合，． 求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【解析】证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时， ， 方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集， 则至少有1个元素， 方程有解， ， 解得或，必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是 或． 题型二：充要条件的证明 新知2：充要条件的证明 【对点训练2】求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或． 【解析】证明：必要性： 若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意；若时，， 设方程的两根分别为、， 则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、， 则， 则、均为负数，由题意可知，可得． 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 题型二：充要条件的证明 新知2：充要条件的证明 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根． 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”． 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或． 新知3：条件类型与集合的关系 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. “充小必大”： 充分条件范围小 必要条件范围大 8 【例3】设命题p：；命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】解　设A＝， B＝， 由p是q的充分不必要条件，可知， ∴，且等号不同时成立，解得， 故所求实数a的取值范围是． 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【对点训练3】已知集合或，． （1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件； （2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件； （3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 【解析】（1）的充要条件是， 所以实数的取值范围是． （2）由（1）知，的充要条件是， 则当时，是的一个充分但不必要条件； 比如是所求的一个充分但不必要条件．（答案不唯一） （3）求实数a的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合， 故是它的一个真子集． 如果时，未必有， 但是时，必有， 故是所求的一个必要但不充分条件．（答案不唯一） 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【例4】已知 （1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由； （2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由． 【解析】， ． （1）要使是的充要条件， 则，即 此方程组无解， 则不存在实数，使是的充要条件； （2）要使是的必要条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 要使，则有 解得， 所以， 综上可得，当实数时，是的必要条件． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【对点训练4】已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】∵是的必要不充分条件， ∴是的充分不必要条件， 对于，依题意，知 ， ∴， 设， ， 由题意知， ∴，