1.5 平面上的距离（7大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.5 平面上的距离 一、点到点的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 3、中点坐标公式：若，，则线段的中点的坐标公式为： ，. 二、点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0. 三、平行线间的距离 1、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两个点间的最短距离； （2）在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 四、点关于点的对称问题 1、实质：该点是两对称点连线段的中点 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 五、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 六、点关于直线的对称问题 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 七、直线关于直线的对称问题 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行. 题型一 点到点的距离求解 【例1】（2023秋·高二课时练习）已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 . 【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）已知点、、，且，则 . 【变式1-2】（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知的三个顶点、、，则的中线的长是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高二课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（ ） A． B． C．或 D．1或 【变式1-4】（2023·全国·高二专题练习）直线和直线分别过定点和，则| ． 题型二 点到直线的距离求解 【例2】（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 . 【变式2-1】（2022秋·吉林·高二东北师大附中校考期中）（多选）已知，两点到直线：的距离相等，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2022秋·高二单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（2023秋·高二课时练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．4 【变式2-4】（2023秋·高二课时练习）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为 ． 题型三 平行线间的距离求解 【例3】（2022秋·四川·高二射洪中学校考期中）两条平行线与之间的距离 ． 【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的距离为，则实数的值为 ． 【变式3-2】（2023秋·全国·高二期中）直线与，之间的距离相等，则直线的方程是 ． 【变式3-3】（2023秋·高二课时练习）（多选）与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·全国·高二专题练习）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 题型四 直线关于点对称 【例4】（2022秋·辽宁·高二沈阳第十