21.2.2 公式法 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.2.2 解一元二次方程 - - 公式法 01 ｜ 会用公式法解简单系数的 一元二次方程 02 理解并会计算一元二次方程根的判别式 学习目标 ｜ 03 ｜ 会用判别式判断一元二次方程的根的情况 复习旧知 用配方法解方程： 2x2 + 4x - 6 = 0 解：方程整理得：x2 + 2x =3 配方得：（x+1）2=4 开平方得：x+1=±2 解得：x1=1，x2=-3 新知探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 新知探究：求根公式的推导 用配方法解一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 解：移项得：ax2 + bx =-c 二次项系数化为1得： 配方，得： 整理，得： 能用直接开平方解吗？ 新知探究：求根公式的推导 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0 则 ，可得： 则方程有两个不相等的实数根： 新知探究：求根公式的推导 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （2）b2－4ac =0 则 ，可得： 则方程有两个相等的实数根： 新知探究：求根公式的推导 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （3）b2－4ac <0 则 则方程无实数根。 归纳总结 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac。 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 典例精析 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （x+1)(x-1）=2x+3 解：整理得： x2－2x －4= 0. 则：a=1,b=-2,c=-4 所以该方程有两个不相等的实数根。 则△=b2-4ac=20>0 一化 二找 三算 四判 练一练 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0 （2）4x2 = 12x − 9 解：a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． 解：方程化为 4x2−12x+9=0， a=4，b=−12，c=9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9=0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 练一练 不解方程，判断下列方程的根的情况： （3）7y = 5( y2 + 1 ). 解：方程化为 5y2 −7y + 5 = 0， a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5= −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 典例精析 例2 若关于 x 的 一元二次方程 x2 + 8x + k = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k≤4 B. k≥4 C. k＜16 D. k＞16 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则 Δ = b2 − 4ac＞0，即 82 − 4k＞0. 解得 k＜16，故选 C. 另外考虑一元二次方程二次项系数不为零。 练一练 若关于 x 的一元二次方程(k-1)x2 +x +1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. B. C. D. 分析： 分类讨论 一元二次方程k-1≠ 0 k≠ 1 Δ = 1- 4(k-1)≥0 有实数根 D 归纳总结 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 典例精析 例3 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x