1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类 一、空间向量研究距离问题 1．点P到直线l的距离: 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2．点P到平面α的距离: 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离. 4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离. 5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离． 二、空间向量研究夹角问题 1． 两个平面的夹角： 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 线线角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ， 其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 线面角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝ 面面角 设平面α与平面β的夹角为θ， 平面α，β的法向量分别为n1，n2， 则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝ （一） 点到直线的距离 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤： (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段; (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确. 题型1：利用空间向量求点到直线的距离 1-1．（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ）． A． B．1 C． D． 1-2．（2023秋·天津·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023春·高二课时练习）已知向量和直线l垂直，且在由直线l与点确定的平面内，点在直线l上，则点到直线l的距离为 . 1-4．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    (1)求证:平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. （二） 点到平面的距离与直线到平面的距离 1、用向量法求点面距的步骤： (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 2、求点到平面的距离的主要方法： (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段). 题型2：利用空间向量求点到平面的距离 2-1．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：    (1)直线的一个方向向量； (2)点到平面的距离． 2-2．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.    (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离. 2-3．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 2-4．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为 . 2-5．（2023春·江西·高二赣州市第四中学校考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2-6．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（    ） A．5 B．8 C． D． 2-7．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正