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七年级数学(北师)上册
第一章 丰富的图形世界
微专题2 中考新动向特训 欧拉公式
结构特点:根据题目发现规律,总结出欧拉公式,然后利用欧拉公式去解决问题;
处理策略:熟练记忆欧拉公式. 欧拉公式:顶点数+面数-棱数=2;
注意事项:在计算几何体的顶点数和棱数时,要有顺序地数,避免重复、遗漏.
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1.【例】(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②,③,④,⑤的木块.
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我们知道,图①的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图②,③,④,⑤中木块的顶点数,棱数,面数填入表:
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图 顶点数 棱数 面数
① 8 12 6
② ______ ______ ______
③ ______ ______ ______
④ ______ ______ ______
⑤ ______ ______ ______
6
9
5
8
12
6
8
13
7
10
15
7
(2)观察上表,请你归纳上述各种木块的顶点数,棱数,面数之间的数量关系,这种数量关系是:____________________________;
(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②~⑤不同的切法,把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为________,棱数为________,面数为________.这与你(2)题中所归纳的关系________(填“相符”或“不相符”).
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图⑥
顶点数+面数-2=棱数
(答案不唯一,如图)
8
12
6
相符
2.新年晚会是我们最欢乐的时候.会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有各种各样的立体图形.
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(1)数一下每一个多面体具有的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F),并把结果记入表中:
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多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
正四面体 4 4 6
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体 12 20 30
8
6
12
6
8
12
20
12
30
(2)观察表中数据,猜想多面体的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)之间的关系;
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解:因为4+4-6=2,
8+6-12=2,
6+8-12=2,
20+12-30=2,
12+20-30=2,
所以V+F-E=2;
(3)伟大的数学家欧拉(Euler1707-1783)证明了这一令人惊叹的关系式,即欧拉公式.若已知一个多面体的顶点数V=196,棱数E=294.请你用欧拉公式求这个多面体的面数.
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解:由V+F-E=2,
即196+F-294=2,
F=294+2-196=100.
答:这个多面体的面数为100.
3.瑞士著名数学家欧拉发现:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系:V+F-E=2,这个关系式被称为欧拉公式.若一个多面体的面数与顶点数相等,有12条棱,这个多面体是______面体.
4.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式:V+F-E=2,被称为欧拉公式.若一个多面体的顶点数比面数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是____.
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七
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——《论语》
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