第06讲 应用二次函数求解几何最值问题-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第6讲 应用二次函数解决几何图形最值问题专题探究 考点一 求线段的最值 【知识点睛】 · 如图，在第一象限内抛物线上有一动点P.过点P作PD⊥x轴交AB于点D，当PD（或PH）最大时，求点P的坐标； 方法： 依抛物线解析式设点P坐标，因为PD∥y轴表示点D坐标，PD=yP-yD，得PD表达式为一新二次函数，根据顶点式求其最大值。（求PH最大值则可由△PHD∽△AOB，将PH的长转化为PD长，再参照上法求解PH最大值） 【类题训练】 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y＝x2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m． ①用含m的代数式表示点P的坐标； ②当m为何值时，线段PB最短； （3）当线段PB最短时，平移后的抛物线上是否存在点Q，使S△QMA＝2S△PMA，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当∠ACD＝2∠BAC时，求D点的坐标； （3）如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点F的横坐标为m． ①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与△AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）与y轴交于点C． （1）如图1，当点A（﹣1，0）时，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）与x轴交于A，B两点． ①直接写出抛物线的函数关系式和直线BC的解析式，及点A，点B的坐标； ②点P为抛物线在第一象限内的任意一点，点P的横坐标为n，过点P作PF⊥x轴交直线BC于点F．是否存在点P，使线段PF的长度最大，若存在，求出点P的坐标和PF的最大值；若不存在，请说明理由； ③若PF的长度满足，请直接写出点P横坐标n的取值范围． 5．如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD． （1）求S△COD； （2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标； ​ · 考点二 求周长的最值 【知识点睛】 · 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，定点C、D在抛物线上，当矩形ABCD周长最大时，求点A的坐标； 方法： ①设点A坐标，表示点B、C、D坐标； ②表示AB、CD的长； ③将C矩形ABCD表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。 · 如图，顶点A，B，C在抛物线上，在对称轴上找点P，使△PBC周长最小时，点P的坐标； 方法：将军饮马→对称连接 【类题训练】 6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确 7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标； （3）过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值； （4）点G是y轴上一点，点T是线段AC上一点，且CG＝2AT，求AG+2OT的最小值． 8．已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q