第08讲 二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第8讲 二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究 【知识点睛】 · 如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 解决策略： 如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P， 使△ABP为直角三角形；分以下3种情况： ☆特地别：和等腰△存在性问题一样，直角三角形存在性也是需要分3类的，但是通常“一圆”的点是否存在，又存在几个，要根据实际情况来。 【类题训练】 1．如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标； （3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标． ​ 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线得解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标． （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s． ​ （1）当点B的坐标为时，直接写出t的值； （2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值； （3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线y＝ax2+3x+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接BC，过点P作PH⊥BC于点H，求PH的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+3x+c沿射线CB方向平移个单位，得到新的抛物线y1，如图2点N为新抛物线y1对称轴上一点，M是原抛物线上一点，是否存在△PMN是以PM为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． ​ 5．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）判断△BCD的形状并说明理由． （3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线0）的顶点P在抛物线 C2：y＝ax2 上． （1）求a的值； （2）直线x＝t（t＞m）与抛物线∁l，C2分别交于点A，B，若AB的最大值为3，请求出m的值； （3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线C2上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第8讲 二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究 【知识点睛】 · 如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 解决策略： 如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P， 使△ABP为直角三角形；分以下3种情况： ☆特地别：和等腰△存在性问题一样，直角三角形存在性也是需要分3类的，但是通常“一圆”的点是否存在，又存在几个，要根据实际情况来。 【类题训练】 1．如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标； （3）若M是抛