2.2 直线的方程-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

2.2 直线的方程 课时3　直线的点斜式方程  1. 了解在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和倾斜角,理解“截距”的概念,明确“截距”与“距离”的区别. 2. 理解直线的点斜式、斜截式方程的特点与适用范围,能正确地利用直线的点斜式、斜截式方程求直线的方程,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3. 通过对直线方程的学习,进一步渗透数形结合的思想和数学中相互联系、转化的观点,学会运用联系与转化的观点分析、解决数学中的问题. 课程目标 学科核心素养 掌握直线的点斜式和斜截式方程 通过直线的点斜式和斜截式方程的推导过程,提升数学抽象素养 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 借助一次函数图象,探究直线的斜截式方程与一次函数间的关系,发展数学抽象素养 会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 用直线方程解决有关实际问题,培养逻辑推理和数学运算素养 笛卡尔出生于法国,是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家,还是解析几何的创始人,被黑格尔称为“现代哲学之父”.有一次,他生病卧床还在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,那么能不能用几何图形来表示方程呢?关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他拼命琢磨,通过什么样的办法才能把“点”和“数”联系起来呢?突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗.他由此受到启发,后来创建了平面直角坐标系. 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线,这样,在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0,y0)和斜率k就能唯一确定一条直线,也就是说这条直线上任意一点P(x,y)(x≠x0)与点P0(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的,那么这一关系如何表示呢? 【提示】 引导学生利用过两点的直线的斜率公式,尝试探究直线上任意一点P(x,y)与点P0(x0,y0)和斜率k之间的关系,可得y-y0=k(x-x0). 设计意图　以笛卡尔的故事为背景,将数学文化融入新知,丰富学生的数学文化知识,拓展学生的视野,从数学文化中让学生思考解决问题的方法,激发学生的求知欲望,提高学生学习的积极性及学习数学的兴趣. 任务1　探究直线的点斜式方程和斜截式方程  活动1　探究直线的点斜式方程  问题1　由情境问题,我们知道,若直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线l上的任意一点P(x,y)(x≠x0)与点P0(x0,y0)和斜率k之间具有如下的关系:y-y0=k(x-x0),这一关系刻画了过点P0(x0,y0),且斜率为k的直线l上的动点P的运动规律,我们称之为直线l的点斜式方程.请问:经过点P0(x0,y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示? 【提示】 不能,过点P0(x0,y0)且斜率不存在的直线,其方程可表示为x=x0. 问题2　过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线l上任意一点P(x,y)都可表示成y-y0=k(x-x0)吗? 【提示】 不一定,前提是直线斜率k存在. 问题3　坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的点都在过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上吗? 【提示】 都在.因为若点P1(x1,y1)的坐标满足y-y0=k(x-x0),则y1-y0=k(x1-x0).,若x1=x0,则y1-y0=0,即y1=y0,说明点P1与P0重合,于是可得点P1在直线l上;若x1≠x0,则k=,这说明过点P1和P0的直线斜率为k,于是可得点P1在过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线l上. 问题4　当直线l的倾斜角为0°时,直线l的方程是什么? 【提示】 当直线l的倾斜角为0°时,即k=tan0°=0,根据直线的点斜式方程得y-y0=0(x-x0)=0,即y=y0. 问题5　当直线l的倾斜角为90°时,直线l的方程是什么? 【提示】 当直线l的倾斜角为90°时,直线l的斜率不存在,它的方程形式不能用点斜式表示.因为这时直线l上每一个点的横坐标都等于x0,所以它的直线方程是x-x0=0,即x=x0. 问题6　方程y-y0=k(x-x0)与方程k=一样吗? 【提示】 不一样.前者中x=x0时也成立,后者中x≠x0. 设计意图　通过合作探究,培养学生自主探究的能力,并体会直线的方程就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式,从而掌握根据条件求直线点斜式方程的方法.使学生进一步理解直线的点斜式方程的适用范围,掌握特殊直线方程的表示形式. 注意事项: 探究直线点斜式方程时需要引导学生注意使用点斜式的两个条件:点和斜率. 活动2　探究直线的斜截式方程  问题7　已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l方程