1.4 空间向量的应用-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

课时10　用空间向量研究距离、夹角问题(2)  1. 理解直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角与空间向量的关系. 2. 会用空间向量的方法求直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角. 3. 体会通过建立空间直角坐标系将空间的三种角的求解转化为空间向量的坐标运算的思想方法. 课程目标 学科核心素养 学会用空间向量的方法求直线与直线所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与直线所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求直线与平面所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求平面与平面的夹角 通过用空间向量的方法研究平面与平面的夹角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 　图1 日晷(图1)是我国古代用来测定时间的仪器,它是利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地面上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为多少?在空间中,常见的角有哪些?怎样求出空间的这些角呢? 【提示】 空间中的常见的角包括两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面所成的角这三种.求这些角,可以用传统的方法,根据这些角的定义求,也可以借助空间向量,运用空间向量的方法来求.下面我们就来探究怎样运用空间向量的方法求出空间的角. 设计意图　通过生活中的现实情况,帮助学生回顾空间角的概念,并提出运用向量解决空间角的问题,同时渗透空间问题“代数化”的基本思想,为运用空间向量的方法探究空间三种角的求法营造良好的氛围. 任务1　用空间向量的方法研究两条异面直线所成的角 活动1　通过直线的方向向量及向量夹角公式求两条异面直线所成的角  问题1　在立体几何中是怎样定义两条异面直线所成的角的?两条异面直线所成的角的范围是什么? 【提示】 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角.两条异面直线所成的角的范围是. 问题2　如图2,已知两条异面直线l1的方向向量为u,直线l2的方向向量为v,两条异面直线l1和l2所成的角与其方向向量有何关系呢? 图2 【提示】 根据两条异面直线所成的角的定义知,直线l1和l2所成的角等价于直线l1的方向向量u与直线l2的方向向量v的夹角或其补角. 问题3　如何用空间向量法求两条异面直线所成的角的大小呢? 【提示】 设异面直线l1和l2所成的角为θ,则可得到cosθ=|cos<u,v>|=. 设计意图　通过对上述问题的探究,使学生在进一步理解异面直线所成的角的定义的基础上,明确两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量的夹角之间的关系,为运用空间向量的方法求空间中两条异面直线所成的角奠定基础. 任务2　探究用空间向量的方法研究直线与平面所成的角 活动2　通过直线的方向向量和平面的法向量及夹角公式求直线与平面所成的角  问题4　在立体几何中是怎样定义直线与平面所成的角的?直线和平面所成的角的范围又是什么呢? 【提示】 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0.直线和平面所成的角的范围是. 问题5　你能用空间向量的方法求直线与平面所成的角吗?如何求呢? 【提示】 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角,可以转化为直线l的方向向量u与平面α的法向量n的夹角.如图3,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,又直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则有sinθ=|cos<u,n>|==. 图3 设计意图　通过对上述问题的探究,使学生理解直线l与平面α所成的角跟直线l的方向向量u与平面α的法向量n的夹角之间的关系,为运用空间向量的方法求直线与平面所成的角做好铺垫,奠定基础. 任务3　探究用空间向量的方法求两个平面的夹角  活动3　通过平面的法向量及向量的夹角公式求平面与平面的夹角  问题6　在立体几何中是怎样定义平面与平面所成的角的?平面与平面所成的角的范围是什么? 【提示】 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.用二面角的平面角大小度量平面与平面所成的角.平面与平面所成的角的范围是[0,π]. 问题7　怎样定义平面与平面的夹角呢?平面α与