1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课时4　空间直角坐标系  1. 理解空间直角坐标系建立的背景,掌握空间点的坐标和空间向量的坐标的表示方法. 2. 经历空间直角坐标系的形成过程,感悟空间直角坐标系在确定空间方位时的作用. 3. 渗透类比、转化的数学思想,培养空间想象能力,发展数学运算和逻辑推理等素养. 课程目标 学科核心素养 理解空间直角坐标系的建立背景,掌握空间直角坐标系的建立方法 通过空间直角坐标系的建立,培养数学抽象与直观想象素养 学会用空间坐标的方法刻画空间点的位置以及表示空间向量 通过对空间中点与向量的坐标表示的研究,培养数学运算、逻辑推理素养 掌握空间直角坐标系和空间向量的坐标表示的简单应用 通过空间向量的坐标表示的简单应用,培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出了中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入.为使得几何问题“代数化”,我们引入了坐标系及其运算.对于平面几何的问题,我们通过建立平面直角坐标系使其“代数化”,那么,对于立体几何的问题,我们能通过建立空间直角坐标系的方法将其“代数化”吗?如何建立呢? 【提示】 能.我们可以类比平面直角坐标系的建立方法,建立空间直角坐标系,实现将立体几何问题“代数化”.本节课,我们就来研究这一问题. 设计意图　由著名数学家吴文俊先生的论述引出几何问题“代数化”的话题,引导学生类比建立平面直角坐标系的方法,思考构建空间向量坐标系实现立体几何问题“代数化”的方法,激发学生探究新知的兴趣,为新课的学习营造良好的氛围. 任务1　类比平面直角坐标系的建立方法,探究空间直角坐标系的构建 活动1　类比平面直角坐标系,探究空间直角坐标系的构建  问题1　类比平面直角坐标系,如何建立空间直角坐标系? 【提示】 我们知道,平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念,我们还可以这样理解平面直角坐标系:在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j},以O为原点,分别以i,j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴,那么我们就建立了一个平面直角坐标系,如图1. 图1 类似地:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,如图2. 图2 问题2　像图2这样建立的空间直角坐标系有什么特点? 【提示】 在这样建立的空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,则中指指向z轴的正方向,我们称这个坐标系为右手空间直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系(图3). 图3 问题3　空间直角坐标系由哪些元素构成? 【提示】 坐标原点O,坐标向量i,j,k,坐标平面:Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 问题4　如何画出空间直角坐标系? 【提示】 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=∠xOz=90°. 设计意图　通过对上述问题的探究,使学生了解空间直角坐标系的构建方法,体会类比思想在数学学习中的意义和价值,培养空间想象能力,发展直观想象与数学抽象素养. 任务2　探究用坐标表示空间的点和向量的方法 活动3　探究空间的点和向量的坐标表示  问题5　在平面直角坐标系中,每一个点可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢? 【提示】 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.由此可知,点A与有序实数组(x,y,z)一一对应,因此,可以用(x,y,z)表示空间点A的位置. 问题6　给出空间任意一点A,它的空间坐标是什么? 【提示】 在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标(图4). 图4 问题7　在空间直角坐标系中,空间向量能用坐标表示吗?如何表示呢? 【提示】 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a(图5),由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)