1.2 空间向量基本定理-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 课时3　空间向量基本定理  1. 了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础. 2. 理解空间向量的基底、基向量、单位正交基底和正交分解等概念,了解正交分解的意义. 3. 会选择适当的基底表示空间任一向量,能正确运用空间向量基本定理解决立体几何问题. 课程目标 学科核心素养 理解空间向量基本定理的意义,掌握空间向量基本定理的本质 通过空间向量基本定理的探究过程,培养逻辑推理、数学运算素养 理解基底、基向量和单位正交基底等概念,掌握空间向量正交分解的方法 通过对空间向量正交分解的学习,培养数学抽象、逻辑推理素养 会运用空间向量基本定理解决一些简单的立体几何问题 通过应用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题,培养数学运算、逻辑推理素养 在平面向量中,我们学习了平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.生活需要向三维空间发展(播放地面的坦克瞄准空中的飞机的画面).由之前的学习,我们把平面向量的线性运算推广到了空间,那么平面向量基本定理能推广到空间吗?如果能,我们可以得到怎样的结论呢? 【提示】 能.推广后的结论是:在空间,如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xe1+ye2+ze3.其中,{e1,e2,e3}叫做表示空间内所有向量的一个基底.这就是我们所要研究的问题. 设计意图　数学的结论一般都是比较抽象的,而对这些抽象结论的理解往往需要一些具体的、熟悉的背景来支撑.这里通过生活实例创设问题情境,让学生产生感性认识,体会研究空间向量分解的必要性,在熟悉的情境中自然而然地引出要研究的问题,激发学生学习的兴趣,为学习新知营造出良好的氛围. 任务1　探究空间向量的分解及空间向量基本定理  活动1　通过具体实例探究空间问题中向量的分解  问题1　如图1,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是CC1的中点,怎样用向量,,表示向量? 图1 【提示】 因为E是CC1的中点,所以==,则=++=++. 问题2　如图2,在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,O是BC1和B1C的交点,怎样用向量,,表示向量? 图2 【提示】 因为O是BC1和B1C的交点,所以O是B1C的中点,所以=(+),又在平面ABB1A1中,=+,所以=(++). 设计意图　通过学生熟悉的空间图形,运用空间向量的线性运算探究空间向量的分解,为平面向量基本定理到空间向量基本定理的推广做好铺垫. 活动2　探究空间向量基本定理  问题3　如图3,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p=,能否用i,j,k表示?如何表示? 图3 【提示】 设为在i,j所确定的平面上的投影向量,则=+,又向量,k共线,所以存在唯一的实数z,使得=zk,从而=+zk,而在i,j所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xi+yj.从而=xi+yj+zk.因此,如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量. 问题4　在空间,如果用三个不共面的向量a,b,c代替问题3中的三个两两垂直的向量i,j,k,你能得出怎样的结论? 【提示】 引导学生交流和讨论,得出如下结论:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. 问题5　平面向量基本定理是什么?你能不能将平面向量基本定理推广到空间向量呢? 【提示】 平面向量基本定理是:如果两个向量a,b不共线,那么对任意一个平面向量p,存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.类似于平面向量基本定理,我们有空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. 设计意图　让学生理解空间向量的分解是通过两次平面向量的正交分解得到的,空间向量的正交分解与平面向量的正交分解是类似的.在此基础上,类比平面向量基本定理,得出空间向量基本定理,使学生进一步体会类比的思想在空间向量的学习中的意义和价值. 任务2　探究空间向量的基底及正交分解  活动3　认识和理解空间向量的基底和正交分解的相关概念  问题6　在平面向量基本定理中,表示平面上任意向量的一组不共线的向量{e1,e2}叫做表示这一平面内所