第三章 圆锥曲线的方程 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

第三章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　对圆锥曲线定义和轨迹方程的理解以及数形结合思想的应用  已知动圆M与两圆(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆M的圆心M的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　.  根据题意,利用两圆相切的性质,分类讨论求出圆M的圆心M的轨迹方程即可. 设圆(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1,F2,圆M的半径为r.当圆M与圆(x+3)2+y2=4内切,与圆(x-3)2+y2=4外切时,有则|MF2|-|MF1|=4<6,圆M的圆心轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线左支;当圆M与圆(x+3)2+y2=4外切,与圆(x-3)2+y2=4内切时,有则|MF1|-|MF2|=4<6,圆M的圆心轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,因此圆M的圆心轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,2a=4,2c=6,则a=2,c=3,b==,所以圆心M的轨迹方程为-=1. -=1 变式训练1 (1) [2022·北京市一零一中学高二期末]已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为 (　　) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 (2) 已知B,C是两个定点,|BC|=10,且△ABC的周长等于24,求顶点A的轨迹方程. (1) 延长垂线F2Q交F1P的延长线于点A,如图①,则△APF2是等腰三角形,所以|PF2|=|AP|,从而|AF1|=|AP|+|PF1|=|PF2|+=2a.因为O是F1F2的中点,Q是AF2的中点,所以|OQ|=|AF1|=a.所以点Q的轨迹是以原点O为圆心、半径为a的圆.故选A.　(2) 由已知|AB|+|AC|+|BC|=24,|BC|=10,得|AB|+=14,由定义可知,顶点A的轨迹是椭圆,且2c=10,2a=14,即c=5,a=7,所以b2=a2-c2=24.如图②,建立平面直角坐标系,使x轴经过B,C两点,原点O为BC的中点,当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是+=1(y≠0). 变式训练1答图 (1) A　(2) 见解析 点评总结　(1) 定义是解题的重要依据,求动点的轨迹方程,一种重要方法就是找出动点运动时所满足的几何条件,联想常见曲线的定义,判断出轨迹类型,再写出轨迹方程;(2) 要注意轨迹与轨迹方程的区别,明确“轨迹”是图形,“轨迹方程”是表示该图形的方程,不要将两者混为一谈. 在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-1,点T(3,0).动点P满足PS⊥l,垂足为S,且·=0.求动点P的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 设动点P的坐标为P(x,y),根据题目条件,由于动点P在运动时满足的几何条件是·=0.将此条件表示为x,y的方程,化简这一方程即得动点P的轨迹方程,再根据轨迹方程,可得到其表示的图形. 设P(x,y),动点P在运动时满足的几何条件可以表示为{P|·=0}.因为PS⊥l,垂足为S,又直线l:x=-1,所以S(-1,y).因为T(3,0),所以=(x,y), =(4,-y).因为·=0,所以4x-y2=0,即y2=4x.所以动点P的轨迹方程为y2=4x.方程所表示的图形为顶点在坐标原点、焦点在x轴上、开口向右的抛物线. 变式训练2 在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:y2=4x于点P,F为抛物线C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴均相切,设圆M的圆心M的轨迹为曲线E,求曲线E的方程. 因为抛物线C的方程为y2=4x,所以点F的坐标为(1,0),设M(m,n),因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为|n|,点P(n2,2n),则直线PF的方程为=,即2n(x-1)-y(n2-1)=0, 所以=,又m,n≠0,所以|2m-n2-1|=n2+1,即n2-m+1=0,所以曲线E的方程为y2=x-1(y≠0). 点评总结　求轨迹方程的几种常用方法:① 直接法,通过建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求x,y之间的关系式;② 代入法:用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线方程,由此即可求得所求动点坐标x与y之间的关系式.例2及变式训练2主要考查了定义法求轨迹方程,如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义,则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. 设计意图　通过对本主题的学习,加深学生对椭圆、双曲线、抛物线定义的认识和理解,使学生学会运用定义法和直接法等方法求动点