3.3 抛物线-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

3.3抛物线 课时7　抛物线及其标准方程  1. 经历从具体情境中抽象出抛物线定义的过程,理解抛物线的定义及焦点和准线的概念. 2. 了解抛物线的标准方程的推导方法,理解抛物线的标准方程中的参数p的几何意义. 3. 掌握抛物线的标准方程及其图形特征,会用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程. 课程目标 学科核心素养 经历从具体情境中抽象出抛物线的过程,理解抛物线定义及焦点和准线的概念 从具体情境中抽象出抛物线,培养数学抽象、直观想象等素养 了解抛物线的标准方程的推导方法,理解抛物线的标准方程中参数p的几何意义 通过推导抛物线的标准方程,发展数学建模、数学运算等素养 掌握抛物线的标准方程及图形特征,会用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程 在运用抛物线的定义和标准方程解题的过程中,提升逻辑推理、数学运算素养 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线》中用一个与圆锥的一条母线平行的平面去截该圆锥,他把该平面与该圆锥截得的交线命名为抛物线.与我们前面研究的椭圆、双曲线一样,抛物线也是一种美丽的几何图形,在生产、生活实际以及科学研究的诸多领域中都有着十分广泛的应用,你能说一些你所熟悉的抛物线的应用实例吗? 【提示】 在足球比赛时,猛一脚,射门,足球沿着一条美丽的弧线运动.翻开历史,看到引以为骄傲的赵州桥时,你一定会惊叹道:在当时条件下,怎会有这样的杰作!夏天,仰望天空,看见一道美丽的彩虹,你一定会遐想翩翩;夜晚,当你看到伴随美妙音乐呈现出五彩斑澜的喷泉时,你一定有一种天上人间般的感觉.当你看到运动员投篮正中篮框时,你一定会惊讶于他的准确率.这一切的一切,如果抽取出来,就是抛物线.那么,什么是抛物线?抛物线的标准方程是什么?下面我们就来探究这些问题. 设计意图　通过创设基于历史的情境,揭示抛物线概念的形成过程,不仅增强了课堂的趣味性和文化性,而且使学生对抛物线的概念有了更加深入的理解,用圆锥曲线的统一定义引出课题,自然顺畅,且可以让学生产生类比的想法.让学生联想生活、科研和生产中的抛物线,并引导学生联想二次函数的图象,产生思维冲突,引出新课,发展学生逻辑推理和数学抽象的素养. 注意事项: 问题情境中对历史事实的解释和证明难度较大,学生难以在较短的时间内接受,所以只需要进行简单的史实介绍,让学生了解即可. 任务1　探究抛物线的定义  活动1　探究抛物线的定义  　图1 问题1　如图1,F是定点,l是不经过点F的定直线,N是直线l上任意一点,过点N作MN⊥l,线段FN的垂直平分线m交MN于点M.拖动点N,观察点M随之运动的情况.它的轨迹是什么形状?你能发现点M满足的几何条件吗? 【提示】 它的轨迹是抛物线.点M满足|MN|=|MF|. 问题2　|MN|,|MF|分别表示什么呢? 【提示】 动点M到定点与到定直线的距离. 问题3　你能根据上面的研究,归纳总结出抛物线的定义吗? 【提示】 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.可用符号语言表示为{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离). 设计意图　通过上述问题,引导学生探索发现、归纳总结出抛物线的定义,形成对抛物线的初步认识和理解,为运用抛物线的定义推导出抛物线的标准方程和解决具体问题奠定基础,培养和发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务2　探究建立抛物线的标准方程  活动2　类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,建立抛物线的标准方程  问题4　类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可使所求抛物线的方程形式简单? 【提示】 根据抛物线的定义中涉及的元素以及抛物线的形状,不难想到可以让准线平行于一条坐标轴,以过焦点且与准线垂直的直线为另一条坐标轴,例如可以让准线平行于y轴,过焦点且与准线垂直的直线为x轴,这样的情况还有三种.继续观察,容易想到x轴与抛物线的交点是图1中KF的中点,可将其设置为原点. 问题5　设抛物线焦点到准线的距离为p,则焦点坐标、准线方程分别是什么? 【提示】 焦点F,准线l方程x=-. 问题6　抛物线的方程如何建立呢? 【提示】 设M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到准线l的距离为d,由抛物线的定义,抛物线是点的集合P={M|MF|=d},因为|MF|=,d=,所以=.将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0)　①.从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点F的距离和它到准线x=-的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程①叫做抛物线的标准方程,它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是F,准线是x=-的抛物线. 图2 问题7　在建立椭圆、双曲线