3.2 双曲线-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

3.2双曲线 课时4　双曲线及其标准方程  1. 理解双曲线的定义以及双曲线的焦点、焦距的概念,了解双曲线的图形特征. 2. 能根据双曲线的定义推导出双曲线的标准方程,掌握双曲线的标准方程的应用. 3. 会用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题,提高数学应用的意识和能力. 课程目标 学科核心素养 类比椭圆定义得出双曲线的定义,理解双曲线的焦点和焦距的概念 通过类比椭圆定义得出双曲线的定义的过程,培养数学抽象素养 类比椭圆标准方程的推导方法推导出双曲线的标准方程 通过对双曲线标准方程的推导过程,培养逻辑推理、数学运算素养 会用待定系数法求双曲线的标准方程,能运用双曲线的定义及标准方程解决简单实际问题 通过运用待定系数法求双曲线的标准方程的过程,培养数学运算、逻辑推理等素养 火电厂、核电站的循环水冷却塔是一种大型薄壳型建筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却水系统多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水的电站.你知道这种冷却塔的纵截面是一个怎样的图形吗? 图1 【提示】 冷却塔的纵截面是双曲线的一部分,双曲线形冷却塔的外形是双曲线的一部分绕双曲线的虚轴旋转所成的曲线.那么,什么是双曲线?双曲线的标准方程是什么?双曲线具有怎样的几何特征呢?下面,我们就来探索这一问题. 设计意图　通过创设实际问题情景,让学生认识到现实生活中还存在除直线、圆、椭圆以外的其他的美丽的曲线需要我们去学习和研究,借此引入新课,激发学生的学习兴趣,为新课的学习营造一个良好的氛围. 任务1　类比椭圆的定义得出双曲线的定义  活动1　探究双曲线的定义  问题1　椭圆的定义是什么? 【提示】 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于非零常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 问题2　如果把椭圆定义中距离的“和”改为“差”,那么点的轨迹是怎样的曲线呢? 【提示】 双曲线. 问题3　如图2①,取一条拉链,把它固定在板上的F1,F2两点,拉动拉链头M,思考拉链头M运动的轨迹是什么图形? 【提示】 如图②,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a;如图③,|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a,由②③可得||MF1|-|MF2||=2a (差的绝对值).上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条曲线叫做双曲线的一支. 图2 问题4　平面内与两定点F1,F2的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是什么? 【提示】 双曲线的一支. 问题5　若常数2a=0,轨迹是什么?若非零常数2a=呢?若非零常数2a>|F1F2|呢? 【提示】 若常数2a=0,轨迹是线段F1F2的垂直平分线;若非零常数2a=|F1F2|,轨迹是两条射线;若非零常数2a>|F1F2|,轨迹不存在. 问题6　如何定义双曲线呢? 【提示】 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点;两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 设计意图　通过类比椭圆的定义得出双曲线的定义,通过强化双曲线概念的抽象和建立过程,提高学生思维的严谨性与语言表达能力,发展学生的直观想象和逻辑推理素养. 注意事项: 若动点为P,则双曲线的定义可用符号语言表示为|PF1-PF2|=2a<|F1F2|.在双曲线概念中几个容易忽略的地方:“平面内”“距离的差的绝对值”“常数小于”.没有“绝对值”这个条件时,轨迹仅表示双曲线的一支. 任务2　探究、推导双曲线的标准方程  活动2　类比椭圆标准方程的建立过程,建立双曲线标准方程  问题7　你能类比椭圆标准方程的建立过程,尝试建立双曲线标准方程吗? 【提示】 取经过两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,根据双曲线定义中的等量关系,坐标化得到方程 =2a. 问题8　对于问题7中得到的方程,你觉得它简单、优美吗? 【提示】 不是很简单、优美. 问题9　类比于椭圆,能不能给出结构简单且优美的双曲线方程呢? 【提示】 尝试化简.先去绝对值,化成-=±2a,类比椭圆标准方程的化简过程,化简该式得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),从简化、美化的角度,继续优化方程.b2=c2-a2,则b2x2-a2y2=a2b2,两边同除以a2b2,得-=1.明确方程-=1(a>0,b>0)与所给双曲线是等价的,是双曲线的方程,并且称为双曲线的标准方程. 问题10　类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程的推导过程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么? 【提示】 -=1(a>0,b>0).其焦点坐标是(0,±c),三个参数a,b,c之间的关系仍然是c2=a2+b2. 设计