2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 课时12　直线与圆的位置关系(1)  1. 理解直线与圆相交、相离和相切的定义,能根据定义运用坐标法判断直线与圆的位置关系. 2. 会推导弦长的计算公式,掌握直线与圆相交时的交点坐标和直线被圆截得的弦长的求法. 3. 能灵活地运用代数法与几何法解决问题,体会用代数法解决几何问题的思想. 课程目标 学科核心素养 在平面直角坐标系中,能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 在探究平面直角坐标系中直线和圆的位置关系的过程中,培养数学抽象和直观想象素养 会用代数方法和几何方法来判断直线与圆的三种位置关系,并能解决交点和弦长问题 通过探究直线和圆相交时的交点坐标与弦长问题的求解方法,发展逻辑推理和数学运算素养 感受用代数方法解决几何问题的优越性,学会把几何问题转化为代数问题 通过用代数方法解决几何问题的探究,体会解析几何的本质,提升数据分析和数学建模素养 请欣赏唐朝诗人王维的《使至塞上》: 单车欲问边,属国过居延. 征蓬出汉塞,归雁入胡天. 大漠孤烟直,长河落日圆. 萧关逢候骑,都护在燕然. 对此诗句展开想象,呈现在你面前的是一幅怎样的绝美画卷? 【提示】 第三句以出色的描写,道出了边塞之景奇特壮丽和作者的孤寂之感.“荒无人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”,对此景象,如果我们从数学的角度看到的是一条直线垂直于一个平面.而“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”正是直线与圆的不同位置关系的精彩展现.下面我们就来研究直线与圆的位置关系. 设计意图　通过直观画面展示问题情境,引领学生大胆猜想,合理思维,激发学生的学习兴趣,营造探索问题的氛围,同时让学生体会数学知识无处不在,应用数学无处不有,符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准. 任务1　直线与圆的位置关系及其判断方法  活动1　回顾和探索直线与圆的位置关系  问题1　海上日出是非常壮美的景象.如果我们把太阳看成一个圆,海平面看成一条直线,那么太阳在升起的过程中,它与海平线有哪几种位置关系呢? 【提示】 直线与圆在相对运动的过程中有三种不同的位置关系:相离、相切和相交. 问题2　直线与圆的不同位置关系有哪些区别?你还熟悉直线与圆相离、相切和相交的定义吗? 【提示】 直线与圆在不同位置关系时,直线与圆的公共点的个数不同. 直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点;直线与圆相切⇔直线与圆有一个公共点;直线与圆相离⇔直线与圆没有公共点. 图1 图2 图3 设计意图　从海上日出的美丽画面出发,引导学生抽象出直线与圆的三种位置关系,自然而然地复习回顾直线与圆相交、相切与相离的定义,为研究用数量关系刻画直线与圆相交、相切与相离的位置关系营造氛围,做好铺垫. 注意事项: 直线与相切时,直线叫做圆的切线,直线与圆的公共点叫做切点. 活动2　探究用数量关系刻画直线与圆的位置关系  问题3　直线与圆的相对运动会产生不同的位置关系,这些不同的位置关系能用数量关系来刻画吗? 【提示】 能.指导学生体会位置关系与数量关系之间的联系,从中感受数与形的相互结合与转化,引导学生发现可以用数量关系来刻画直线与圆的不同位置关系. 问题4　如何用数量关系来刻画直线与圆的不同位置关系呢? 【提示】 从直线与圆相交、相切、相离的定义分析,直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点,这时直线与圆的方程组成的方程组有两个解,从而消去y后得到的关于x的一元二次方程有两个不同的实数解,即Δ>0;直线与圆相切⇔直线与圆有一个公共点,这时直线与圆的方程组成的方程组有一个解,从而消去y后得到的关于x的一元二次方程有两个相同的实数解,即Δ=0;直线与圆相离⇔直线与圆没有公共点,这时直线与圆的方程组成的方程组没有解,从而消去y后得到的关于x的一元二次方程没有实数解,即Δ<0. 问题5　上述由直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来刻画直线与圆的位置关系的方法,我们称之为代数法.还能用其他方法来刻画直线与圆的位置关系吗? 【提示】 直线与圆相交⇔圆心到直线的距离d<圆的半径r;直线与圆相切⇔圆心到直线的距离d=圆的半径r;直线与圆相离⇔圆心到直线的距离d>圆的半径r.这种方法运用了圆的几何特征,我们称之为几何法. 问题6　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点? 【提示】 几何法侧重于图形的几何性质,步骤较简洁,运用较方便;代数法则侧重于“坐标”与“方程”.判断直线与圆的位置关系,一般用几何法. 问题7　上面研究直线与圆的位置关系问题的基本思路是什么? 【提示】 思路1 思路2 设计意图　引导学生从直线与圆相交、相切和相离的定义以及圆的几何特征两个不同角度探究判断直线与圆相交、相切和相离的方法,让学生进一步体会解析几何中运用代数法解决几何问题的思想,训练学生理性思维的品质,发展学生逻