2.4 圆的方程-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

　2.4 圆的方程 课时10　圆的标准方程  1. 掌握确定圆的几何要素,能根据定义推导圆的标准方程,熟悉圆的标准方程的结构特点. 2. 能根据已知圆的标准方程求出圆心的坐标和圆半径,会利用题设条件求出圆的标准方程. 3. 理解点与圆的位置关系,掌握求曲线方程的一般方法,能运用直接法求出简单曲线的方程. 课程目标 学科核心素养 掌握确定圆的几何要素 类比确定直线的要素,通过自主探究确定圆的要素,培养数学抽象和直观想象素养 能根据圆的定义推导、证明圆的标准方程 通过对平面上两点间距离公式的应用的再挖掘,得到新知识,发展逻辑推理和数学运算素养 会求圆的标准方程,并能得出圆心及半径 通过求解圆的标准方程的过程,培养运用数形结合及方程组的代数方法解决问题的能力,发展逻辑推理和数学运算素养 中国古代造车的历史悠久.轮子的使用是造车的基础,我国被认为是世界上较早使用轮子的国家之一.汽车的轮子是圆形的,摩天轮是圆形的,圆在我们的生活中无处不在.日出东方,车行天下,这些都是圆的具体表现形式.那么汽车的轮子为什么设计成圆形,而不是其他形状呢? 【提示】 圆形可以让车轮上每一点到轴心的距离相等,才保证了轮子转起来不颠簸. 设计意图　通过学生熟悉的情境问题的提出,引导学生想象圆的几何要素,回顾圆的定义:平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆.从而为研究圆的标准方程做好铺垫. 任务1　理解确定圆的几何要素  活动1　通过类比,明确确定圆的几何要素  问题1　在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线,那么满足什么条件可以确定一个圆呢? 【提示】 定点(圆心)和定长(半径)即可确定一个圆. 问题2　为什么饭店酒楼基本都用圆桌? 【提示】 圆上的点到圆心的距离都相等.圆桌桌面是圆形,坐在圆桌旁的人夹菜很方便. 问题3　在平面直角坐标系中,直线可以用一个方程表示,圆是否也可以用一个方程来表示吗? 【提示】 在平面直角坐标系中,直线可以用“点+斜率(或:点+点)”来表示得到点斜式方程y-y0=k(x-x0)(或两点式方程=),而圆由圆心和半径来确定,类比直线的表示,圆应该可以用含圆心和半径的方程来表示. 设计意图　通过实际生活,观察和类比直线得到确定圆的几何要素,自然而然地提出圆是否也可以用方程来表示的问题,启发学生思考,激发学生的学习乐趣,调动学生学习的积极性. 任务2　探究圆的标准方程  活动2　从圆的定义出发,探究圆的标准方程的推导方法  问题4　如何用圆心和半径表示出圆的方程呢? 【提示】 如图1,在平面直角坐标系中,圆A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,圆A就是以下点的集合:P=.根据两点间的距离公式,点M的坐标(x,y)满足的条件可以表示为=r,两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2. 图1 问题5　方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆吗?我们应该从哪个角度分析呢? 【提示】 由上述过程可知,若点M(x,y)在圆A上,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2(*);反过来,若点M的坐标(x,y)满足方程(*),就说明点M与圆心A的距离为r,点M就在圆A上.这时,我们把方程(*)称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程. 图2 设计意图　引导学生从圆的定义出发,探究推导圆的标准方程的方法,得出圆的标准方程,让学生体会用直接法求曲线方程的基本步骤,为后面进一步地研究椭圆、双曲线和抛物线的标准方程奠定基础. 注意事项: 直接法求曲线方程的基本步骤:① 建系设点;② 寻找条件;③ 列出方程;④ 化简方程;⑤ 验证说明. 活动3　探究圆的标准方程的形式特征,深化对圆的标准方程的认识和理解  问题6　和直线方程相比,圆的标准方程有什么特点? 【提示】 直线方程是二元一次方程,而圆的方程则是二元二次方程;直线的点斜式方程中含有三个参数:定点坐标和斜率;圆的方程也含有三个参数,圆心坐标和半径. 问题7　为什么称方程(x-a)2+(y-b)2=r2为圆的标准方程呢?圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是什么? 【提示】 因为该方程的结构优美,从这个方程可以直接得到圆心坐标和半径.圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是x2+y2=r2. 问题8　x2+y2=m2一定表示圆心在原点的圆吗? 【提示】 等式右边含有参数,要对m进行讨论.当m≠0时,表示半径为|m|的圆,而当m=0时,就只能是一个点了.实际上,当m大小变化时,该方程表示一组圆,可以称其为“同心圆”. 问题9　参数a,b,r如何影响圆的方程? 【提示】 条件 方程形式 过原点,圆心为(a,b),半径r= (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 圆心在原点,即a=0,b=0,