4.3 等比数列-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

课时10　等比数列的前n项和公式(2)  1. 掌握等比数列前n项和的性质,进一步熟悉数列中的从特殊到一般的数学思想. 2. 能够灵活地运用等比数列的前n项和公式与有关性质求解等比数列的计算问题,体会转化与化归思想,提高对等比数列前n项和公式及其性质的应用能力. 3. 理解并掌握等比数列在几何问题和实际问题中的应用,并能够通过构造等差数列、等比数列解决等差数列和等比数列的综合问题,提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 课程目标 学科核心素养 能够灵活地运用有关等比数列的前n项和公式与性质求解有关等比数列的问题 通过等比数列的前n项和公式与性质的运用,体会转化与化归思想,培养数学运算能力和逻辑推理素养 能够运用等比数列的前n项和公式解决几何图形中的面积和问题 通过建立等比数列模型将几何问题转化为等比数列前n项和问题,培养数学建模素养 能够通过构造等差数列、等比数列解决有关等差数列和等比数列的综合问题 通过探究形如“an+1=pan+q”的数列的构造方法,提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,培养逻辑推理素养 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,问塔的顶层共有灯几盏? 【提示】 设这个塔顶层有a盏灯,因为宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,所以从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,又总共有灯381盏,所以381==127a,解得a=3,则这个塔顶层有3盏灯. 设计意图　通过创设古代数学情境,激发学生学习新知识的好奇心和求知欲,引导学生自主探究,在解决问题中顿悟,提高学习新知的能力.通过解决数学史中的“实际问题”,引导学生从实际问题中抽象出等比数列数学模型,体会用等比数列的前n项和公式解决实际问题的基本思路和方法,培养数学抽象素养. 任务1　理解等比数列前n项和的性质  活动1　探究等比数列前n项和的性质  问题1　若等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,问数列Sm,S2m,S3m,…是等比数列吗?为什么? 【提示】 它不是等比数列.反例:当an=2n-1时,Sn=2n-1,特殊地,取m=1,则上述数列为1,3,7,…,由于3×3≠1×7,所以它不是等比数列. 问题2　若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列吗?为什么? 【提示】 它是等比数列. 由数列{an}的公比不为-1,则Sn≠0,因为Sm=a1+a2+…+am,所以S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=qm(a1+a2+…+am)=qmSm,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=qm(am+1+am+2+…+a2m)=qm(S2m-Sm),依此类推,可得Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是公比为qm的等比数列. 问题3　若公比等于-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列吗? 【提示】 当m为奇数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是公比为-1的等比数列;当m为偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…不是等比数列,因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…均为0. 设计意图　通过上述问题,引导学生探究等比数列前n项和的性质,通过层层设问引发思考,进一步掌握判断一个数列是不是等比数列的方法,加深对等比数列前n项和公式及等比数列的定义、性质的理解,提高数学运算和逻辑推理能力. 注意事项: 1. 要判断一个数列是等比数列,可用定义法、等比中项法、通项公式法等;要判断一个数列不是等比数列,只需要举出一个反例. 2. 问题3是学生经常犯的错误,在教学时,应当借助具体实例,加深理解和强化记忆. 任务2　探究数列中的一类常见构造方法  活动2　利用形如an+1=pan+q的递推关系构造数列  问题4　若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),请你写出a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式. 【提示】 a2=3,a3=7,a4=15,猜想数列{an}的通项公式是an=2n-1. 问题5　不难发现an+1=2n,那么如何证明上述结论? 【提示】 由于an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,所以可构造等比数列{an+1},它的首项和公比均为2,故an+1=2×2n-1,从而an=2n-1. 问题6　若将“a1=1”改为“a1=-1”,结论又是什么? 【提示】 当a1=-1时,a1+1=0,所以{an+1}是常数列,即an+1=0,所