第06讲 直线的交点坐标与距离公式-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第06讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版2019】 ·模块一 两条直线的交点坐标 ·模块二 距离公式 ·模块三 点、线间的对称关系 ·模块四 课后作业 模块一 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【考点1 直线的交点坐标问题】 【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【例1.2】（2023秋·高二单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【考点2 直线交点系方程及应用】 【例2.1】（2023春·海南海口·高一校考期末）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　) A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0 C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0 【变式2.1】（2023秋·高二课时练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2022·高二课时练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【考点3 点到直线的距离公式的应用】 【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C.当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【考点4 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．4 【例4.2】（2023秋·高二课时练习）已知直线与的距离为，则c的值为（    ） A．9 B．11或 C． D．9或 【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【考点5 与距离有关的最值问题】 【例5.1