2.2 基本不等式-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

　2.2基本不等式 课时3　基本不等式(1)  1. 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式. 2. 通过对基本不等式几何意义的探究,感受数学文化之美,体会数形结合的魅力. 3. 探索基本不等式的证明过程,学会用作差法、综合法、分析法证明基本不等式. 课程目标 学科核心素养 理解、掌握基本不等式的内容和结构 通过由完全平方公式到基本不等式的过程,培养逻辑推理素养 能够利用不等式的性质证明基本不等式,初步理解分析法的证明方法 借助基本不等式的证明过程,培养逻辑推理、数学运算素养 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标(图1),是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民的热情好客. 　图1　　　　　　　　图2 如果将图中直角三角形的两条直角边的长度分别设为a,b(图2),你能发现随着直角边长a,b的变化,这个弦图的大正方形和直角三角形的面积间有怎样的不等关系吗?用代替a,代替b后,这个不等式又有什么变化? 【提示】 S大正方形≥4S直角三角形,得到a2+b2≥2ab.用代替a,代替b后,得到a+b≥2(a>0,b>0). 设计意图　通过创设数学文化情境与生活情境,揭开基本不等式的神秘面纱,感受不等式无时无刻不在我们身边,激发对学习基本不等式的兴趣,体现用数学的眼光观察世界的价值. 任务1　理解算术平均数与几何平均数的概念  活动1　认识算术平均数与几何平均数  问题1　从情境导学中,我们了解到,在日常生活中,我们经常会碰到用和表示的量,你知道它们的名称吗? 【提示】 对于两个正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数. 设计意图　通过问题1,借助实际情境,了解和的广泛存在性和重要性,理解算术平均数与几何平均数的概念,为研究基本不等式作出铺垫、奠定基础. 任务2　探究、发现基本不等式  活动2　猜想和的大小关系,发现基本不等式  问题2　两个正数a,b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的关系呢? 【提示】 取a=1,b=4,发现大.也有可能相等,如取a=b=1,=,得出结论:如果a,b是正数,那么≤ (当且仅当a=b时取“=”).这个不等式我们称它为基本不等式. 设计意图　通过对问题2的探索与研究,引导学生进行猜想和尝试,通过特殊值的计算和比较,发现基本不等式,渗透从特殊到一般的思想,培养理性思维能力,培养数学抽象素养. 任务3　掌握基本不等式及其证明方法  活动3　理解基本不等式的“内涵”和“外延”,掌握基本不等式的证明方法  问题3　什么是基本不等式?你能证明基本不等式吗? 【提示】 如果a>0,b>0,则称≤为基本不等式.常用的证明方法有以下几种:方法1(比较法): -=+-2··=≥0,即≥,当且仅当a=b时,等号成立.方法2(分析法):要证≥,只要证a+b≥2,就是证a+b-2≥0,也就是证≥0,而上式显然成立,当且仅当a=b时,等号成立,所以原命题得证.方法3(综合法): a>0,b>0.因为(-)2≥0,所以a+b-2≥0,所以a+b≥2,所以≥,当且仅当a=b时取“=”. 问题4　如果将基本不等式的条件:正数a,b中的“正数”去掉,基本不等式还成立吗?为什么? 【提示】 不成立,当a,b均为负数时,基本不等式显然不成立;当a,b一正一负时,基本不等式左边无意义;而当a,b中,一个为正数,一个为0时,不等式是成立的,但是一般我们不研究此类情况. 设计意图　在对问题3和问题4的探索与研究的过程中,通过对基本不等式的证明,了解证明不等式的常用方法,认识基本不等式的结构特征,理解基本不等式成立的条件,为运用基本不等式解决问题奠定基础,培养理性思维的能力,培养逻辑推理的素养. 任务4　理解基本不等式的几何意义  活动4　通过图形,理解基本不等式的几何意义  问题5　如图3,以AB为直径作半圆ADB,圆心为O.过直径AB上一点C作CD垂直于AB,交半圆于点D,连接AD,BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗? 图3 【提示】 设AC=a,CB=b,则AB=a+b,易证△ACD∽△DCB,故CD=,是三角形ACB的外接圆的半径,即OD=.因为CD≤OD,所以≤.这就是基本不等式的几何意义. 设计意图　在对问题5的探索与研究的过程中,引导学生通过几何图形探索发现基本不等式的几何特征,帮助深刻理解基本不等式的几何意义,培养数形结合的意识,发展直观想象和数学抽象等素养. 任务5　理清基本不等式和不等式a2+b2≥2ab的关系 活动5　认识基本不等式和不等式a2+b2≥2ab的关系  问题6　基本不等式与不等式a2+b2≥2ab在结构上有什么联系和区别? 【提示】 联系: