第五章 三角函数 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第五章小结与复习 一、 知识结构图·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　任意角的概念和表示方法及数形结合思想的应用  已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角: (1) 420°;(2) 855°;(3) -510°. 先画出直角坐标系,再根据角的正负明确逆时针或顺时针的方向,根据角的大小确定旋转量的大小,旋转一周是360°. 作出各角的终边,如图: 例1答图 由图可知:(1) 420°是第一象限角.　(2) 855°是第二象限角.　(3) -510°是第三象限角. 变式训练1 写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来. 与α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1 910°,k∈Z}.因为-720°≤β<360°,即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z),所以3≤k<6(k∈Z),故取k=4,5,6.当k=4时,β=4×360°-1 910°=-470°;当k=5时,β=5×360°-1 910°=-110°;当k=6时,β=6×360°-1 910°=250°. 点评总结　确定一个任意角α所在象限的方法:先利用终边相同的角的表示方法将α表示成2kπ+α0(k∈Z)的形式,其中0≤α0<2π,再根据α0在坐标平面中的位置确定出角α所在的象限.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 把一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB用电焊切割成扇形,现有以下两种方案,如图.要求既要充分利用废料,又要切割时间最短,哪一种方案最优? 例2 对两种方案切割得到的扇形,分别运用扇形面积公式和弧长公式,计算出其面积与弧长,方案最优,即面积要最大,弧长要最小,通过比较,容易得出结果. 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形,所以A=B=30°=,易得OM=ON=1,AD=2,所以方案一中扇形的弧长为2×=,方案二中扇形的弧长为1×=;方案一中扇形的面积为×2×2×=,方案二中扇形的面积为×1×1×=.由此可见,两种方案废料的利用面积相等,方案一切割时间较短.因此方案一最优. 变式训练2 已知扇形AOB的圆心角为120°,半径为6. (1) 求的长; (2) 求扇形AOB所含弓形的面积. (1) 因为α=120°=,所以的长l=|α|·r=×6=4π.　(2) 因为S扇形AOB=lr=×4π×6=12π,如图,取AB的中点D,连接OD,则S△AOB=AB·OD=×2×6sin60°×6×cos60°=9.所以弓形的面积为S扇形AOB-S△AOB=12π-9. 变式训练2答图 点评总结　角度制与弧度制是度量角的大小的两种不同制度,它们之间具有如下关系:2π=360°,运用这种关系可以实现两种不同度量形式上的互化.许多情况下,运用弧度制往往显得更为简捷和方便. 运用弧度制解决扇形相关问题的步骤:① 明确弧长公式和扇形的面积公式:l=|α|r,S=|α|r2和S=lr(这里α必须是弧度制下的角);② 分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式;③ 根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,帮助学生从数与形两个方面认识和理解任意角和弧度制的概念,包括角的正负性、终边相同的角的理解与应用,掌握任意角的表示方法以及角度与弧度的互化,体会数形结合的思想,发展直观想象与数学运算等素养. 主题2　任意角的三角函数的定义及分类与整合思想的应用  已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=x,则sinθ+tanθ的值为　　　　.  根据余弦函数的定义:cosθ=,代入已知条件进行求解.注意对角的象限进行分类讨论. 因为r=,cosθ=,所以x=.又x≠0,所以x=±1,所以r=.又y=3>0,所以θ是第一或第二象限角.当θ为第一象限角时,sinθ==,tanθ=3,则sinθ+tanθ=.当θ为第二象限角时,sinθ==,tanθ=-3,则sinθ+tanθ=. 变式训练3 已知=-,且cosα>0有意义. (1) 试判断角α所在的象限; (2) 若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值. (1) 由=-,得sinα<0,又cosα>0,所以α是第四象限角.　(2) 因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.又α为第四象限角,故m<0,从而m=-,sinα====-. 点评总结　利用任意角的三角函数的定义,由角α终边上任意一点的坐标,可以求出其三角函数的值.已知