第四章 指数函数与对数函数 建立函数模型解决实际问题-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

数学建模 数学建模建立函数模型解决实际问题 1. 体验数学建模“观察实际情景,发现和提出问题、收集数据、分析数据、建立模型、检验模型、求解问题”的六个基本流程,熟悉完成数学建模的全过程. 2. 通过数学建模活动,激发学习数学的兴趣,发展创新意识和实践能力,在交流过程中展现个性,发展数学抽象、数学建模、数学运算和逻辑推理等素养. 课程目标 学科核心素养 通过建立数学模型解决实际问题,体验数学建模活动过程的6个基本流程 通过生活中具体的数学模型,经历观察实际情景,发现和提出问题、收集数据、分析数据、建立模型、检验模型、求解问题的过程,培养数据分析、数学抽象、数学建模素养 认识数学建模在解决实际问题中的价值和作用,增强应用数学的意识 通过研究实际问题,学会运用数学的思维解决问题,运用数学的语言解释问题,增强科学研究精神,培养数学抽象、逻辑推理、数学建模素养 蜡烛是我们日常生活中不可缺少的物品,在我们的生活中发挥着重要的作用.有一首诗这样写道“日暮汉宫传蜡烛,轻烟散入五侯家”:寒食节禁火的时候,帝王给侯爵以上的官员、上品官员赏赐蜡烛.可见,在古代,蜡烛属于珍贵的物品.经过了数世纪的变迁,蜡烛的照明功能已经衰弱,现代人们用点燃蜡烛来烘托气氛,如生日蜡烛、圣诞蜡烛等.你是否发现这样一个现象:不同粗细的蜡烛燃烧速度不同.那么蜡烛燃烧的时间与蜡烛的粗细有什么关系?如何解决这个问题呢? 【提示】 将实际问题转化为数学问题,经历收集数据、分析数据、建立模型、检验模型、求解问题等过程来解决此问题. 设计意图　通过日常生活中蜡烛燃烧的实际问题为题材创设教学情境,引导学生思考将实际问题转化为数学问题的过程、步骤,初步体会建立数学模型解决实际问题的意义、价值和思想方法,为“建立数学模型解决实际问题”的探究学习作铺垫. 知识点数学建模主要步骤的探究 重难点根据实际问题建立数学模型求解、检验 【观察实际情景,发现和提出问题】 司机在遇到突发紧急情况时都会刹车,从司机决定刹车开始到汽车停止行驶的距离为刹车距离,车速越快,刹车距离越长.那么,刹车距离与车速之间具有什么样的关系呢?若某人的车速是75 km/h,那么他的刹车距离是多少? 显然,如果能建立刹车距离随时间变化的函数模型,那么就能容易地解决这个问题.为此,需要收集一些刹车距离随车速变化的数据,再利用这些数据建立适当的函数模型. 【收集数据】 我国某机构提供的刹车距离实际观察数据如下: 车速/(km/h) 20 40 60 80 100 120 140 实际刹车距离/m 6.5 17.8 33.6 57.1 83.4 118.0 153.5 【分析数据】 汽车的刹车距离有反应距离和制动距离两部分组成,反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用时汽车行驶的距离,制动距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止时的距离. 反应距离有反应时间和车速决定,反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性,由于很难对反应时间进行区别,因此,通常认为反应时间为常数,而且在这段时间内车速不变. 制动距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系.由能量守恒,制动力所做的功等于刹车时汽车动能的改变.设计制动器的一个合理原则是:最大制动力大体上与汽车的质量成正比.汽车的减速度基本上是常数.路面状况可认为是固定的. 【建立模型】 根据上述分析,提出假设:① 刹车距离d等于反应距离d1和制动距离d2之和;② 反应距离d1与车速v成正比,且比例系数为反应时间t;③ 刹车时使用最大制动力F作的功等于汽车动能的改变,且F与汽车质量m成正比;④ 人的反应时间t为一个常数;⑤ 在反应时间内车速v不变;⑥ 路面状况是固定的;⑦ 汽车的减速度a基本上是一个常数. 由上述假设,可得: (1) d1=tv; (2) 由Fd2=mv2,F=ma,则d2=v2,所以d2=kv2. 综上,刹车距离的模型为d=d1+d2=tv+kv2. 为了求出t和k,可选取数据建立方程组求解,不妨取第1,2组数据,有解得类似地,取第2,3组、第3,4组数据、第4,5组数据、第5,6组数据、第6,7组数据,可得下表: t 0.205 0.215 0.099 0.233 0.087 0.305 k 0.006 0.006 0.008 0.006 0.007 0.006 分别计算t,k的平均值,得t=0.191,k=0.007. 我们把这个平均值带入d=tv+kv2,得到一个函数模型:d=0.191v+0.007v2(v>0). 【检验模型】 将已知数据代入上式,或画出函数d=0.191v+0.007v2(v>0)的图象,可以发现,这个函数模型与实际数据基本吻合,这说明它能较好地反应