第三章 函数的概念与性质 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第三章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　函数的概念及函数与方程思想的应用  (1) y=+的定义域是　　　　　　　　,值域是　　　　;  (2) 已知函数f(x)=(m2+m-1)xm+3是幂函数,且该函数是偶函数,则m的值是　　　　.  (1) 由函数的概念,根据使函数式有意义,列出自变量的限制条件组成不等式(组),解出自变量范围,用集合的形式表示即可得出定义域,而值域可以考虑运用函数是偶函数和函数的单调性求解.　 (2) 利用幂函数的定义可得m2+m-1=1,解出方程,再根据该函数是偶函数确定m的值. (1) 要使函数有意义,必须且只须即解得x≤-或x≥,所以函数的定义域为(-∞,-]∪[,+∞).易知函数y=+为偶函数,且在[,+∞)上单调递增,故当x=±时,ymin=--1,所以函数的值域为[--1,+∞).　(2) 因为函数f(x)=(m2+m-1)xm+3是幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1.当m=-2时,函数f(x)=x是奇函数,与题意不符,舍去;当m=1时,函数f(x)=x4是偶函数,符合题意,即m的值是1. (1) (-∞,-]∪[,+∞)　[--1,+∞) (2) 1 变式训练1 (1) 若函数f(x)=的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是　　　　;  (2) “b=2”是“函数f(x)=(2b2-3b-1)xα(α为常数)为幂函数”的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 (1) 由题意可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立.当m=0时,1≥0恒成立;当m≠0时,则解得0<m≤4.综上可得0≤m≤4. (2) 当函数f(x)=(2b2-3b-1)xα为幂函数时,2b2-3b-1=1,解得b=2或-,所以“b=2”是“函数f(x)=(2b2-3b-1)xα为幂函数”的充分不必要条件.故选A. (1) 0≤m≤4　(2) A 点评总结　(1) 具体函数的定义域要求解析式各部分有意义.抽象函数定义域的求解要抓住以下两点:① 函数的定义域指的是自变量的取值范围;② 对于函数f(g(x))的定义域的求解,求f(x)的定义域相当于求g(x)的值域,由此列不等式求出x的取值范围作为函数的定义域.这体现了函数与方程的思想. (2) 幂函数的定义与幂函数的奇偶性是幂函数研究的重要内容,求幂函数的解析式常需抓住幂函数的定义与其奇偶性结合函数奇偶性的定义使问题获解. [教材改编题]已知f(x)是二次函数,并且满足f(0)=f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式. 用待定系数法.由f(x)是二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数),根据条件求出a,b,c的值即可. 因为f(x)是二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数),并且a≠0,由f(0)=f(2)=0,得c=0,且4a+2b=0,即2a+b=0　①,又由f(x)=x,得ax2+bx=x,即ax2+(b-1)x=0(a≠0)有两个相等的实数根.所以b-1=0,所以b=1.将其代入①得a=-,所以f(x)=-x2+x. 变式训练2 [2020·吉林省通榆市第一中学高二期末(文)]设f(x)=若f=,则a的值为 (　　) A. B. C. 或 D. 2 因为f(x)=当0<a<1时,令f(a)==,解得a=;当a≥1时,令f(a)=2(a-1)=,解得a=.综上所述,a=或.故选C. C 点评总结　1. 求解函数解析式时常用的方法有:(1) 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;(2) 配凑法:通过观察,根据复合函数内层的结构,将函数方程的右边也凑配出相同的形式;(3) 换元法:换元法是将函数的自变量或者某个关系式代之以一个新的变量,然后找出函数与中间变量的关系,从而求得解析式;(4) 构造方程组法:将函数方程的变量或者关系式进行适当的变量代换,得到新的函数方程,然后与原方程联立,即可求出函数解析式. 2. 已知函数值求自变量的值,解题的关键是根据已知的函数值列出关于自变量x的方程,通过解方程求出自变量的值.对于分段函数,要注意函数值的分段计算. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,借助对函数概念的辨析深化对函数三要素的理解,掌握求函数解析式以及利用函数解析式求值的方法,从中体会函数与方程的思想方法在数学解题中的应用,培养数学建模等素养. 主题2　函数的图象和性质及数形结合思想的应用  (1) 设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 (　　)