第六章 平面向量及其应用 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第六章小结与复习 一、 知识结构·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　向量的概念及运算 [2020·全国Ⅰ卷]设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． 熟练运用向量的运算法则及向量运算的几何意义、向量的模长公式求解． 方法1：∵a，b为单位向量，∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|＝＝＝1，解得2a·b＝－1，∴|a－b|＝＝＝.方法2：注意到题目中的条件a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，可以构造如图平行四边形，其中＝a，＝b，∠BAD＝，则|a＋b|＝1，即为||＝1，可得|a－b|＝||＝. 例1答图 变式训练1[教材改编题]在四边形ABCD中，下列说法中正确的是(　　) A. 若＝＋，则四边形ABCD为平行四边形 B. 若＝，则四边形ABCD为平行四边形 C. 若|＋|＝|－|，则四边形ABCD为矩形 D. 若·＝2，则四边形ABCD为矩形 易知选项A正确；选项B是指两个单位向量方向相同，并不能说明四边形ABCD为平行四边形；选项C是指四边形ABCD是对角线相等的四边形，不一定是矩形；选项D，根据向量数量积的几何意义，说明B为直角，并不能说明四边形为矩形．故选A. A 点评总结　本例题及变式训练考查两个向量加、减运算的几何意义，通过平面向量加、减法，数量积，单位向量的几何意义考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养． 设计意图　向量作为一种特殊的工具，其运算有自身的特点．本主题主要复习向量作为一种特殊量的基本运算，题目侧重考查两个向量之间的运算的几何意义． 主题2　向量基底及转化与化归思想的应用 例2 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，F为DE的中点，则·的值是(　　) A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 5 在已知图形中寻找两个不共线向量作为基底，将问题进行转化． ∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－，且＝－＝－，∴·＝(－)·＝2－·＋2.由已知可得2＝16，2＝36，·＝||·||·cos∠BAC＝12，∴·＝4.故选C. 变式训练2 C 变式训练2如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________． 用{，}作为基底，将表示出来，∵＝，∴BD∶CD＝1∶(－1)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，解得＝－(－1)，∴·＝[－(－1)]·＝2＝. 点评总结　例2及变式训练2考查平面向量基本定理和向量的线性运算，需要学生选择适当的基底对题中所求向量进行转化与化归，考核逻辑推理、数学运算素养．例2中，已知||，及两个向量的夹角，所以考虑将{，}作为基底，将，用，进行表示，再求数量积．变式训练2，由条件AD⊥AB可得·＝0，又已知||＝1，所以考虑将{，}作为基底． 设计意图　此主题类比实数运算规律结合向量特征，训练学生对平面向量的概念的理解及运算能力，要求学生会用平面向量基本定理，把所求向量运算转化为两个基底向量的运算． 主题3　平面向量基本定理与向量共线定理的应用 已知△AOB，点P在边AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则的值为________． 由点P在边AB上，据平面向量基本定理可知＝x＋y，且x＋y＝1.由此结论可求得本题的结果． ∵＝2t＋t，∴＝2t(－)＋t，即＝＋，点P在边AB上，得＋＝1，解得t＝1，则＝＋，∴＝. 变式训练3已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4，若存在非零实数x，y，使得＝x＋y，且x＋2y＝1，则cos∠BAC＝________． 取边AC的中点D，则有＝x＋y＝x＋2y，而x＋2y＝1，得点B，O，D三点共线．已知点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC，故有BC＝AB＝3，AC＝4，求得cos∠BAC＝. 点评总结　例3及变式训练3考查平面向量基本定理和向量的线性运算，需要学生对题中所求向量选择适当的基底进行转化与化归．例3中＝＋，根据向量中三点共线的公式，由题中点P在直线AB上，可得出系数和为1.变式训练3，由题中＝x＋2y，x＋2y＝1，可得出B，O，D三点共线． 设计意图　本主题的学习过程中，需要学生熟练掌握用向量处理三点共线问题的方法，培养数学运算、逻辑推理素养． 主题4　向量的基底运算与坐标运算的比较及数形结合思想的应用 例4 如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点，Q是线段AP上靠近点A的三等分点，且·＝4，则·的值为________． 此题可以用平面向量基本定理将题中条件和所求向量进行转化． 由题意，＝，AP⊥BP，·＝·(＋)＝·(＋)＝2＝4，∴2＝12.·＝(＋)·＝2＝2－2＝62－12＝24. 24 变式训练4 变式训练4如图，在边长为1的正三角形ABC中，设