7.2 复数的四则运算-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

7.2 复数的四则运算 课时3　复数的加、减运算及其几何意义 1. 通过实数的加法法则帮助学生认识复数的加法法则，并理解其法则规定的合理性． 2. 借助复数的几何意义帮助学生理解复数加法的几何意义． 3. 类比复数的加法法则和几何意义来引导学生掌握复数的减法法则及其几何意义． 课程目标 学科核心素养 掌握复数加、减法的代数运算法则 通过对复数加、减运算的学习与练习，培养数学运算素养 联系复数与以原点为起点的向量的对应关系，掌握复数加、减运算的几何意义 借助复数加、减运算的几何意义，发展直观想象素养 现有一张课桌记为O，甲同学用F1力竖直向上提，乙同学用F2力向右拽，若已测得F1＝6 N，F2＝8 N，∠F1OF2＝.根据力的合成法则，利用勾股定理可得合力的大小为10 N. 借助复平面，设F1＝0＋6i，F2＝8＋0i，若F1＋F2＝8＋6i，则＝＝10，与实验的结果吻合．那么任意两复数的加法都能按上述规则进行运算吗？复数的加法符合平行四边形法则吗？ 【提示】 任意两复数都可以按上述规则进行运算．复数的加法符合平行四边形法则． 设计意图　利用物理情境，让学生体会知识间的内在联系，理解复数的加、减法的运算法则，认识复数加、减运算的合理性． 任务1　类比实数的加法得到复数的加法法则和几何意义 1. 复数的加法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 2. 复数的加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 活动1　探究复数的加法法则 问题1　由3＋3.5＋2＋1.5＝(3＋2)＋(3.5＋1.5)＝10，(2＋3)＋(1－4)＝3－类比猜想，复数的加法法则该如何规定呢？ 【提示】 复数的加法法则本质是多项式运算中的合并同类项，可以规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 问题2　实数加法有交换律和结合律，那么复数的加法满足交换律和结合律吗？请给出证明． 【提示】 ① 复数的加法满足交换律：z1＋z2＝z2＋z1. 证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R).∵z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i.z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i，又a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1，∴z1＋z2＝z2＋z1，即复数的加法满足交换律． ② 复数的加法满足结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1＋z2)＋z3＝[(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)]＋(a3＋b3i)＝[(a1＋a2)＋(b1＋b2)i]＋(a3＋b3i)＝[(a1＋a2)＋a3]＋[(b1＋b2)＋b3]i，z1＋(z2＋z3)＝(a1＋b1i)＋[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)]＝(a1＋b1i)＋[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]＝[a1＋(a2＋a3)]＋[b1＋(b2＋b3)]i，又(a1＋a2)＋a3＝a1＋(a2＋a3)，(b1＋b2)＋b3＝b1＋(b2＋b3)，∴(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)，即复数的加法满足结合律． 设计意图　每次数系的扩充后，新的运算是否满足原来的运算律应该是学生需要去验证的，并且在验证的过程中提升学生的运算能力和逻辑推理能力． 活动2　类比得到复数加法的几何意义 问题3　既然复数可以用复平面内的向量来表示，那么复数加法和向量加法是不是具有相同的几何意义呢？在复数的加法运算中，平行四边形法则仍然适用吗？ 【提示】 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，它们在复平面内所对应的向量分别为OZ1，OZ2，即OZ1，OZ2的坐标形式为OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d).以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，∴＝OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，∴点Z为复数z1＋z2对应的点，为复数z1＋z2对应的向量．即复数加法和向量加法具有相同的几何意义．在复数的加法运算中，平行四边形法则仍然适用． 问题4　已知复数1＋i对应的点为A，复数－2i对应的点为B，O为坐标原点，复数1－i对应的点为C.则四边形OACB的形状是平行四边形吗？ 【提示】 ∵1－i＝(1＋i)＋(－2i)，∴＝＋，即四边形OACB是平行四边形． 设计意图　复数和向量是一一对应的，将复数的相关问题转化为向量问题来研究，体现了化