7.1 复数的概念-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第七章 复数 知识要点及教学要求 1. 带领学生理解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程，熟悉复数的有关概念． 2. 让学生通过方程的解认识复数，理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3. 帮助学生掌握复数的代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 4. 通过复数的几何意义，让学生了解复数的三角表示以及复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．此部分内容为选学内容，不作为考试要求，在本章中已用“*”标注． 高考导向 从近年的高考试题来看，对复数内容，高考主要考查复数的基础知识和蕴含在复数内容之中的数学思想方法，以复数的基本概念和四则运算为核心，考查学生对复数的概念、表示方法和基本运算的理解、掌握情况，要求较低，难度不大，均在“容易”和“较容易”的层次上，以客观题为主，试题活而不难．绝大多数的试题都源于教材，由教材上的例题和习题改编而成．具体地讲： 1. 在考查内容上，以考查复数的概念和运算为主，将复数的概念与运算交汇在同一道试题之中，在考查学生对复数的加、减、乘、除运算和复数的表示方法的掌握情况的同时，考查学生对复数的实部和虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、复数的模和复数的相等的概念的理解． 2. 在能力要求上，注重对复数的基础知识的理解和对复数的运算能力的考查，要求学生对转化与化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法有深刻的体会和认识，学会理性思考，能够灵活地将复数问题“实数化”，利用解方程(组)的方法来处理；或将复数问题“几何化”，利用数形结合的方法来处理． 3. 在呈现方式上，以选择题(包括多项选择题)和填空题为主，一般不会以解答题的形式进行考查． 学法指导 本章的学习，要在深度理解复数的概念、表示方法和运算法则的基础上，学会用整体和联系的观点去分析和解决问题，体会等价转化和数形结合等数学思想方法，提升抽象概括、数学运算和逻辑推理等素养． 1. 复数问题“实数化”．学习本章时应注意复数与实数、有理数的联系，复数代数形式的四则运算与多项式加、减、乘运算的联系． 2. 复数问题“几何化”．把握复数的几何表示以及复数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系，学会运用数形结合的思想方法分析和解决问题． 7.1　复数的概念 课时1　数系的扩充和复数的概念 1. 通过解方程等具体问题，让学生感受引入复数的必要性，了解数系从实数系扩充到复数系的过程和方法． 2. 引导学生认识虚数单位，掌握复数的代数表示及复数的实部和虚部等概念，了解复数的分类，理解两个复数相等的含义． 3. 类比有理数集和实数集的关系，帮助学生认识实数集和复数集的关系，明确实数是复数的一种特殊情况，对数系形成整体认识，建立有机联系． 课程目标 学科核心素养 了解数系扩充的背景，理解虚数的意义 通过了解从实数集到复数集的扩充过程和方法，发展数学抽象及逻辑推理素养 掌握复数概念及虚数单位、实部、虚部等相关概念，了解复数的分类，理解复数相等的充要条件 通过对复数虚部、实部等概念的学习，培养逻辑推理及数学运算等素养 16世纪，意大利数学家卡尔丹在《重要的艺术》中提出如下问题：将10分成两部分，使其乘积为40.显然，该问题是不可能的．不过卡尔丹用这样的方式来求解：平分10，得5，自乘，得25，减去乘积自身(即40)，得－15，从5中减去或加上该数的平方根，即得乘积为40的两部分，即5＋和5－……卡尔丹因此成为数学史上第一个使用负数平方根i的人． －15怎么可以有算术平方根呢？根据我们已有的经验，负数不能开平方．负实数能不能开平方就是方程x2＋a＝0(a>0)有没有解．举例来说，我们知道，x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集扩充的过程，你能给出一种方法，适当地扩充实数集，使这个方程有解吗？ 设计意图　通过创设数学文化情境让学生感受数学发展的历程，知道每次数系的扩充都与实际需求密切相关，从而感受人类理性思维在数学史上的作用，同时学习数学家们勇于探究、勇于创新的精神．由情境引出问题，引发学生思考，身临其境，感受复数的自然引入． 任务1　引入虚数 1. 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位． 活动1　理解数系的扩充是生产实践与社会发展的需要 问题1　集合N、Z、Q、R分别表示怎样的数集？简述数系的扩充过程． 【提示】 N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．数系的扩充过程：① 计数的需要产生了自然数；② 为了表示具有相反意义的量，引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集；③ 为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集；④ 第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充到实数集． 问题2　你遇到过在实数集范围内解不了