6.2 平面向量的运算-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

6.2　平面向量的运算 课时2　向量的加法运算 1. 帮助学生理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义． 2. 帮助学生掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题． 3. 帮助学生掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行向量的运算． 课程目标 学科核心素养 类比数的运算，借助物理中的位移、力的合成等具体实例理解向量加法的概念及几何意义 通过对向量加法的概念及几何意义的学习，发展数学抽象及直观想象素养 掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题 通过对向量加法的平行四边形法则和三角形法则的学习，发展数学运算及直观想象素养 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行向量的运算 借助向量加法运算的运算律，培养数学抽象、数学运算、逻辑推理素养 我们知道，数可以进行运算，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从位移的合成、力的合成得到启发引进了向量的加法．如图1，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移．这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系呢？ 图1 【提示】 上午的位移是，下午的位移是.一天的位移是上、下午两次位移，的和． 设计意图　帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去．启发学生由位移的合成引入向量的加法． 任务1　学习平面向量的加法运算 1. 向量的加法 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2. 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝(图2).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 图2 3. 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和(图3).我们把这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 图3 4. 对于零向量与任意向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a. 5. 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时，等号成立． 活动1　探究向量的加法运算法则 问题1　数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法，可以怎样定义向量的加法？ 【提示】 可以类比物理中位移的合成来定义向量的加法． 问题2　由位移的合成，你认为可以如何进行两个向量的加法运算？ 【提示】 从点A经点B到点C，经过两次位移，有＋＝. 问题3　当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图4①，物体会沿着力或所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向是怎样的？ 图4 【提示】 不会沿着，所在的方向运动．类比力的合成(图4②)，＋＝，会沿着的方向运动． 设计意图　挖掘学生头脑中的原有认知——物理中力的合成的实例，一方面帮助学生深入理解向量的加法，另一方面借助力的合成的平行四边形法则，引入向量加法的平行四边形法则． 活动2　探究，，之间的关系 问题4　你能用有向线段表示出向量a，b，a＋b吗？ 【提示】 能，利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，如图5，a＝，b＝，a＋b＝. 图5 问题5　，，之间有什么关系？ 【提示】 利用向量加法的三角形法则，由三角形三边关系出发，可以得到：① 当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|(即三角形两边之和大于第三边)；② 当a，b共线且方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|；③ 当a，b共线且方向相反时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)，其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a＋b|＝|a|－|b|，当向量a的长度小于向量b的长度时，|a＋b|＝|b|－|a|.综上所述，≤≤＋. 设计意图　让学生借助数形结合的方法发现和向量的模与两向量模的关系：≤≤＋，当且仅当两向量同向时取到最大值，反向时取到最小值． 任务2　理解向量加法的运算律 6. 向量的加法满足交换律和结合律，即a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 活动3　探究向量加法的运算律 问题6　根据数的运算的学习经验，定义了一种运算后就需要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算．你认为我们可以研究向量加法的哪些运算律？ 【提示】 交换律、结合律． 问题7　在向量加法的几何表示的基础上，你能否验证向量加法是否满足交换律和结合律？ 【提示】 如图6①，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则＝b，＝a.因为＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a.如图6②，作＝a，＝b，＝c，连接AC，BD，因为＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c，＝＋＝＋(＋)＝a＋(b＋c)，所以(a＋b)＋c＝a