5.3 诱导公式-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

5.3诱导公式 课时6　诱导公式(1)  1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三角函数诱导公式二、三、四. 2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导公式二、三、四的结构特征. 3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. 课程目标 学科核心素养 能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式二、三、四 在探究、发现和推导诱导公式二、三、四的过程中,培养数学抽象、直观想象等素养 理解诱导公式二、三、四的内涵,掌握诱导公式二、三、四的结构特征 在理解诱导公式二、三、四的内涵与结构特征的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养 会运用诱导公式二、三、四求解一些简单的三角函数式的求值、化简与证明问题 在运用诱导公式二、三、四求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养 北京大兴机场俯视图 北京大兴机场一楼平面图 上海保利剧院 苏杭园林中的连廊设 图1 　　如图1所示的建筑中,我们看到古今建筑大师都充分利用了圆的对称性将美学和建筑学完美融合,同时也将建筑物的空间利用最大化.对称性是圆最重要的性质,我们可利用圆的对称性研究三角函数的对称性.前面我们由三角函数的定义得到了终边相同的角的同一三角函数的值相等,即公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα,k∈Z. 在平面直角坐标系中,角的终边除了重合外,还有哪些比较特殊的关系呢? 【提示】 引导学生发现,还有角的终边关于x轴对称、关于y轴对称、关于坐标原点对称等等. 设计意图　从客观世界的真实情境出发创设情境,引导学生观察现实生活中的图形的对称性,猜想和发现角的终边关于坐标轴和原点的对称性与三角函数之间的关系,为进一步建立三角函数间的联系做好铺垫,通过复习旧知识,提出新问题,启迪思考,激发学习兴趣,为新知学习打下基础. 任务1　利用三角函数定义将圆上的对称关系代数化,推导诱导公式二~四 活动1　研究终边关于坐标原点对称的角的三角函数值的关系  问题1　如图2,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于原点的对称点P2.以OP2为终边的角β与角α有什么关系? 图2 【提示】 由图形对称可得角的关系:β=2kπ+(π+α),k∈Z. 问题2　角β与角α的三角函数值之间有什么关系? 【提示】 因为终边相同的角的同一三角函数值相等,所以只要研究π+α与α的三角函数值之间的关系即可. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),因为点P1与点P2关于原点对称,所以x2=-x1,y2=-y1.根据三角函数的定义,得sinα=y1,cosα=x1,tanα=;sin(π+α)=y2,cos(π+α)=x2,tan(π+α)=. 从而得 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα 问题3　诱导公式二对任意角α都成立吗? 【提示】 由诱导公式二的推导过程知,公式二中的角α是任意的. 问题4　我们是怎样推导出公式二的? 【提示】 图形对称关系→角的关系→坐标关系→三角函数关系. 设计意图　通过对本例的探索与研究,以单位圆为载体,讨论单位圆上关于原点对称的点的坐标之间的关系和任意角的三角函数的定义,发现、推导出诱导公式二,凸显三角函数以单位圆为纽带的几何直观性,体会数形结合的思想方法,发展直观想象和数学抽象等素养. 活动2　类比诱导公式二的推导方法,推导诱导公式三和诱导公式四  问题5　在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对称的情况外,还有关于x轴、y轴对称的情况.请你试着探究当角的终边关于x轴、y轴对称时,三角函数值之间的关系. 【提示】 如图3,设P1(x1,y1),点P3(x3,y3)是点P1关于x轴的对称点,则x3=x1,y3=-y1,以OP3为终边的角为-α.又由三角函数定义得sinα=y1,cosα=x1,tanα=,sin(-α)=y3,cos(-α)=x3,tan(-α)=,从而sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.如图4,设点P4(x4,y4)是点P1关于y轴的对称点,则x4=-x1,y4=y1,以OP4为终边的角为π-α.同理可得sin(π-