4.5 函数的应用（二）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

4.5函数的应用(二) 课时12　函数的零点与方程的解  1. 借助二次函数图象,由特殊到一般,了解方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,了解函数零点的定义. 2. 理解和掌握函数零点存在定理,学会用数形结合思想研究某区间上图象连续的函数存在零点和零点个数的判定方法. 3. 在函数与方程的联系中,体会转化与化归、函数与方程、数形结合等思想,训练理性思维,提高分析问题、解决问题的能力. 课程目标 学科核心素养 了解函数零点的定义 体会方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的联系,培养数学抽象、数学运算素养 理解和掌握函数零点存在定理 能从“数”和“形”两方面判断函数零点的个数及其所在区间,培养逻辑推理、直观想象素养 能运用函数零点存在定理解决相关问题 能根据函数零点的情况求参数的取值范围,培养数学运算、直观想象素养 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解问题.如约公元1世纪年编成的《九章算术》,就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法,这比西方要早300多年.11世纪,北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法.你能求出x3+x2+5x-6=0的根吗? 【提示】 介绍南宋数学家秦九韶给出了求解任意次代数方程的正根的方法,让学生尝试探索求x3+x2+5x-6=0的根的方法,引起学生的认知冲突,提出本节课的研究内容. 设计意图　借助数学史创设问题情境,让学生感受数学文化的魅力,增强学生的民族自豪感和爱国热情,通过让学生动手解方程的探索活动,充分调动学生的学习积极性和主动性,激发学生的学习兴趣,在学生可能产生的疑问中,自然而然地引出课题,为新课的学习营造一个良好的氛围. 任务1　建构函数零点的概念  活动1　探究方程的实数解、函数图象与x轴公共点横坐标的关系  问题1　求下列一元二次方程的实数解,写出相应的二次函数,并画出二次函数简图. (1) x2-2x-3=0;(2) x2-2x+1=0;(3) x2-2x+3=0. 思考这些方程的实数解与相应二次函数的图象有什么关系. 【提示】 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 方程的 实数解 x1=-1,x2=3 x=1 无 函数图象 方程(1)(2)的实数解就是函数图象与x轴交点的横坐标. 问题2　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系? 【提示】 不妨以a>0为例,可得下表: 判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+ c=0(a>0)的 实数解 两个不相等的 实数解x1,x2 有两个相等的 实数解x1=x2 没有 实数解 函数y=ax2+ bx+c(a>0) 的图象 函数的图象与 x轴的公共点 两个公共点: (x1,0),(x2,0) 一个公共点: (x1,0) 无公共点 　　通过上述表格可知,一元二次方程的实数解就是函数图象与x轴公共点的横坐标. 问题3　一般地,对于方程f=0与函数y=f(x)是否也有类似的结论呢? 【提示】 有类似结论. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,由特殊到一般,经历“类比→归纳”的过程,感悟由具体到抽象的研究方法,体会方程的实数解与函数图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,为后面引出函数零点的定义做准备,同时培养学生的归纳概括能力. 【注意事项】 　　在教学过程中,尽量选取简单的一元二次方程,这样容易求解.另外,注意引导学生从方程(数)的角度和图象(形)的角度思考问题,为后面零点概念的建构做准备. 活动2　引入函数零点的概念  问题4　对于一般函数y=f,我们把使f=0的实数x叫做函数y=f的零点,那么方程的实数解、函数的零点、图象与x轴的公共点的横坐标之间有什么关系? 【提示】 函数y=f的零点就是方程f=0的实数解,也就是函数y=f的图象与x轴公共点的横坐标. 问题5　在这个概念中,零点是点吗? 【提示】 零点不是点,是一个实数. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,让学生了解函数零点的含义,理解方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,利用函数有零点与方程的实数解、图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,渗透函数与方程和数形结合的数学思想. 【注意事项】 1. 函数的零点并不是“点”,它不是坐标,而是实数. 2. 要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点的概念,深化学生对数形结合思想的认识. 任务2　理解函数零点存在定理  活动3