4.4 对数函数-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

4.4对数函数 课时10　对数函数的图象和性质(2)  1. 了解指数函数与对数函数互为反函数及互为反函数的两个函数图象之间的关系. 2. 进一步理解对数函数的概念,熟练地掌握对数函数的图象和性质及其简单应用. 3. 体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法在研究数学问题中的运用. 课程目标 学科核心素养 了解指数函数与对数函数互为反函数及互为反函数的两个函数图象之间的关系 借助具体实例,探究指数函数和对数函数图象间的关系,培养数学抽象素养 能够熟练地运用对数函数的图象和性质解决与对数函数有关的复合函数的问题 在运用对数函数的图象和性质求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想在研究数学问题中的运用 在运用数形结合、等价转化等思想解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.试问燕子静止时的耗氧量是多少个单位? 【提示】 由v=5log2,可得Q=10·,当燕子静止时,它的速度v=0,代入得Q=10,即燕子静止时的耗氧量为10个单位. 函数v=5log2与函数Q=10·之间有什么关系? 设计意图　通过生活中的实例创设情境,提出问题,引发思考,引动探究,为本节课进一步研究对数函数的有关性质做铺垫,激发学习兴趣,调动探究新知的积极性,为新课学习营造出一个和谐、生动的良好氛围. 任务1　探究反函数的概念,探究互为反函数的两 个图象间的关系 活动1　探究互为反函数的两个图象间的关系  问题1　在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象,你能发现它们的图象有什么对称关系吗? 图1 【提示】 如图1,y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称. 问题2　取y=2x图象上的3个点,如,(0,1),(2,4),它们关于直线y=x对称的点的坐标分别是什么?它们在y=log2x的图象上吗? 【提示】 它们关于直线y=x对称的点的坐标分别是,,,均在y=log2x的图象上. 问题3　如果点在函数y=2x的图象上,那么点关于直线y=x的对称点在y=log2x的图象上吗?为什么? 【提示】 点在y=log2x的图象上.因为点(x0,y0)在函数y=2x的图象上,所以y0=,故x0=log2y0,即点在y=log2x的图象上. 问题4　上述结论能推广到一般情形吗? 【提示】 能,一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 问题5　一般地,当a>0且a≠1时,指数函数y=ax与对数函数y=logax的定义域和值域有什么关系? 【提示】 根据指数函数与对数函数的关系,由y=ax(x∈R)得x=logay(y>0),由函数定义可知,x=logay(y>0)是一个函数,而且它是一个对数函数,这个对数函数的定义域(0,+∞)、值域(—∞,+∞),分别是指数函数y=ax(x∈R)的值域和定义域.这时就说函数x=logay,y∈(0,+∞)是函数y=ax,x∈(-∞,+∞)的反函数.通常,我们用x表示自变量,y表示函数,为此,把x=logay,y∈(0,+∞)改写为y=logax,x∈(0,+∞),因此,对数函数y=logax,x∈(0,+∞)是指数函数y=ax,x∈(-∞,+∞)的反函数.同时,指数函数y=ax,x∈(-∞,+∞)也是对数函数y=logax,x∈(0,+∞)的反函数.因此,指数函数y=ax,x∈(-∞,+∞)与对数函数y=logax,x∈(0,+∞)互为反函数,它们的定义域和值域正好互换. 设计意图　通过研究指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,让学生发现它们的关系,引出反函数的概念,为画对数函数的图象提供一个新方法,让学生对指数函数和对数函数图象的关系有更为深刻的认识,发展数学抽象的素养. 【注意事项】 1. 教师先引导学生从“形”上认识,然后用“数”验证,体会数形结合的数学思想. 2. 教师只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数,不要求学生讨论形式化的反函数定义,也不要求学生求已知函数的反函数. 任务2　探究对数不等式的解法  活动2　通过对数函数的性质,求解对数不等式  问题6　若loga>1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围. 【提示】 loga>1,即loga>logaa.当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,所以loga<logaa;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,由loga>logaa