3.3 幂函数-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

3.3幂函数 课时9　幂函数  1. 通过对五个具体的幂函数的探究,抽象出幂函数的概念,形成对幂函数的正确认识. 2. 根据幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,归纳概括出幂函数的基本性质. 3. 掌握幂函数的图象和性质在解题中的应用,体会研究函数的一般套路和基本方法. 课程目标 学科核心素养 通过对几个特殊的幂函数的探究,抽象出幂函数的概念,形成对幂函数的正确认识 在由五个具体的幂函数抽象出幂函数概念的过程中,培养数学抽象、直观想象素养 通过描绘几个特殊的幂函数的图象,了解幂函数的图象特征,概括幂函数的基本性质 在描绘幂函数图象、概括幂函数基本性质的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 掌握幂函数的概念、图象和性质在解题中的应用,体会研究函数的一般套路和基本方法 在应用幂函数的概念、图象和基本性质解决问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 　　国家游泳中心,别名“水立方”“冰立方”,位于北京市朝阳区北京奥林匹克公园内,始建于2003年12月24日,于2008年1月正式竣工,2020年11月27日,国家游泳中心冬奥会冰壶场馆改造工程通过完工验收,“水立方”变身为“冰立方”.国家游泳中心是2008年北京奥运会的精品场馆和2022年北京冬奥会的经典改造场馆.下面,我们来看一个与国家游泳中心有关的数学问题: 如果把“水立方”看成一个立方体,设其棱长为x,体积为y,你能给出体积y关于棱长x的函数解析式吗?这个解析式具有怎样的特点? 【提示】 建构起函数的解析式:y=x3,这里,y是x的函数.这个函数是幂的形式,底数是自变量x,指数是与一个x无关的常数. 设计意图　通过北京著名建筑物“水立方”创设情境,引出“幂函数”这一课题,在直观感知幂函数的同时,激发学习兴趣,调动学习热情,为新课的探究学习营造出一个良好的氛围. 任务1　归纳幂函数概念  活动1　观察、概括幂函数概念  问题1　情境导学中的函数具有什么共同特征? 【提示】 函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量,函数前面的系数都是1,指数位置可正、可负、可为零. 问题2　你能概括出幂函数的一般表述形式吗? 【提示】 y=xα. 问题3　你能给出幂函数的定义吗? 【提示】 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导观察、分析几个特殊的幂函数,从中抽象概括出它们所具有的共同特征,建构起幂函数的概念,对幂函数这一基本初等函数形成初步的认识和理解,培养数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　幂函数概念辨析  活动2　辨析幂函数  问题4　你能举几个学过的幂函数的例子吗? 【提示】 y=,y=x2等. 问题5　下列函数:① y=2x3;② y=x2+1;③ y=(x+1)3是幂函数吗? 【提示】 它们都不满足幂函数的定义,所以都不是幂函数. 问题6　如何判断一个函数是不是幂函数? 【提示】 对照定义,看函数是否为y=xα的形式:① 系数为1;② 底数为自变量x;③ 指数为常数. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,在辨析和判断中认清幂函数的本质特征,形成对幂函数概念的正确认识和深度理解,为进一步研究幂函数的图象特征和基本性质、运用幂函数的概念分析、解决问题奠定基础、作好铺垫,培养逻辑推理的素养. 任务3　掌握幂函数的图象与性质  活动3　探究幂函数的性质  问题7　对于幂函数,我们只讨论α=1,2,3,-1,时的情况,即:y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=.结合之前学习函数的经验,我们应如何研究幂函数呢? 【提示】 作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质. 问题8　请你作出这五个幂函数的图象. 【提示】 图1 问题9　观察图象,请你试着探究这五个函数的性质. 【提示】 函数解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 单调递增区间 [0,+∞) 单调递减区间 (-∞,0] 增函数 单调递 增区间 [0,+∞) 单调递 减区间 (-∞,0), (0,+∞) 公共点 (1,1) 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,借助几个特殊的幂函数的图象的描绘过程,认识幂函数的函数图象特征,并从中抽象和归纳得出幂函数的基本性质,体会研究函数的一般套路和基本方法,培养数学抽象和逻辑推理素养. 知识梳理 1. 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2. 常见五个函数的性质 函数 解析式 y=x y=x2