第07讲 直线与圆综合问题-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第07讲 直线与圆综合问题 【人教A版2019】 ·模块一 直线与圆的位置关系 ·模块二 直线与圆相交问题 ·模块三 直线与圆的方程的应用 ·模块四 课后作业 模块一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【考点1 判断直线与圆的位置关系】 【例1.1】（2023春·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交 【考点2 直线与圆的相切问题】 【例2.1】（2023秋·江苏盐城·高二校联考期末）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 模块二 直线与圆相交问题 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就