专题05 切线的性质与判定+切线长定理（知识串讲+8大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

专题05 切线的性质与判定+切线长定理 考点类型 知识串讲 （一）切线的判定与性质 （1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径； （3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直 （二）切线长定理 （1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． （三）三角形的内切圆 （1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形， （2）普通三角形与内切圆的关系：r为内切圆的半径 S△ABC=×r×（AB+BC+AC） （3）直角三角形的三边与内切圆的关系 考点训练 考点1：切线的判定——连半径证垂直 典例1：（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接．    (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【变式1】（2023·福建福州·校考三模）如图，在Rt中，，点为边上一点．    (1)尺规作图：在边上作一点，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，为半径的圆与交于点，且．求证：与相切． 【变式2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，已知是的直径，与相切于点，连接，交于点，弦． (1)求证：点是的中点； (2)求证：是的切线． 【变式3】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③．    (1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 考点2：切线的判定——作垂直证半径 典例2：（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，中，，平分交于点，以为半径作．判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切．求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【变式1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，为等腰三角形，O是底边的中点，于D，以O为圆心、为半径作．求证：与相切． 【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【变式3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，，O为圆心，为半径作圆，求证：AB是圆的切线． 考点3：切线的性质——求线段 典例3：（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【变式1】（2023·福建·九年级专题练习）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，如果∠APB＝60°，PA＝6，那么弦AB的长是（    ） A．3 B．6 C．6 D．10 【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校联考期中）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点. 若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为（　　）    A． B． C． D．2 【变式3】（2023·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（    ） A．4 B．1 C． D． 考点4：切线的性质——求半径 典例4：（2023春·福建厦门·九年级厦门海沧实验中学校考开学考试）在中，，，，若以点为圆心，为半径的与直线相切，则的值为（    ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【变式1】（2022秋·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（　　） A．6 B．4 C．4 D．8 【变式2】（2023·福建·一模）如图，已知是半圆的直径，是半圆的切线，切半圆于点,是半圆的弦，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 【变式3】（2022秋·福建厦门·九年级厦门大学附属科技中学校考阶段练习）如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为（　　）