1.1勾股定理 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

基础课：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 图1 勾股定理理解： 1、勾股定理只能在直角三角形中使用，因为在非直角三角形中，这个等式不成立。 2、在图1中，因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，其中AC,BC是直角边，AB是斜边，因此。在实际问题中，我们关注的是三角形的直角边和斜边本身，不是字母，不能机械的认为就一定是直角边，是斜边，否则就会出现出错。 3、利用勾股定理，我们可以求直角三角形的边长，根据这个等式，我们需要知道其中两条边，才能求出第三边。 【例1】在图1的条件下： （1）若,求的长； （2）若,求的长。 解：（1）在中，由勾股定理得：，所以, 所以; （2） 在中，由勾股定理得： ，所以,所以. 【练习1】在图1的条件下，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，求下列线段长度： （1）若,求的长； （2）若,求的长。 想在非直角三角形中使用勾股定理，需要作辅助线构造直角三角形，才能使用勾股定理。 【例2】如图2，已知在△ABC中，，求△ABC的面积。 图2 图3 解：如图3，作AD⊥BC，因为△ABC是等腰三角形，根据“三线合一”，则 在中，由勾股定理得：,所以，所以， 从而。于是。 【练习2】如图4，已知在△ABC中，，求△ABC的面积。 图4 方法课：勾股定理 1、 面积法：面积法是用两种方式表示同一个图形的面积。如图5，在中，，，求的长。 图5 解：的面积表示方式1： 的面积表示方式2： 因为这两种方式都表示同一个三角形的面积，因此 在中，由勾股定理得：,所以，将代入：，从而。 【练习1】如图6，在中，，，求的长。 图6 【练习2】如图7，在中，AB=7,AC=24,P点到AB,AC和BC的距离都相等，PF⊥AB,PE⊥AC,PD⊥BC，求PD的长度； 图7 2、 轴对称与勾股定理，在翻折变换中，对应边相等，对应角相等。 【例1】将长方形沿AE翻折，D落在BC上，已知CD=16，BC=20，求CE的长。 解：（技巧1）根据已知条件，将相等线段先标出来，长方形对边相等BC=AD=20，CD=AB=16；翻折对应边相等AD=AF=20；在Rt△ABF中，,代入数据：，，所以，因此； （技巧2）根据翻折的性质，设，则，在直角三角形CEF中，根据勾股定理：,代入数据：，运算过程如下：，。因此. 【练习3】如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长。 【练习4】如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 ，点E到BD的距离等于 。 练习课：勾股定理 1、 选择题（共5小题） 1. 在直角三角形中，两直角边分别为5，12，则斜边为（ ） A．11 B．14 C．13 D．15 2. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．三角形的面积为12 D．斜边上的高为2.4 3. 若直角三角形的直角边分别为，斜边是，下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 第4题 第5题 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（ ） A．AC2　　　  B．BD2 　　 　C．BC2　　 　  D．DE2 2、 填空题（共3小题） 6. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是　 　． 7. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=17cm，BC=30cm，△ABC的面积=　 　cm2． 8. 一个直角三角形中，